In 
, ray AD bisects ∠A and intersects BC in D. If BC = a, AC = b and AC = c, prove that
(i) BD=ac/b+c
(ii) DC=ab/b+c
Answers
Given :
In ∆ABC ray AD bisects ∠A and intersects BC in D. If BC = a, AC = b and AC = c.
(i) In ∆ABC, AD is bisector of ∠A
AB/AC = BD/CD
[By angle bisector Theorem : The external bisector of an angle of a triangle divides the opposite side externally in the ratio of the sides containing the angle]
c/b = BD/(BC - BD)
c/b = BD/(a - BD)
c(a - BD) = b × BD
ac - cBD = bBD
ac = bBD + cBD
ac = BD(b + c)
BD = ac/(b + c) …………(1)
Hence, proved that, BD = ac/(b + c)
(ii)
Since, BC = CD + BD
CD = BC - BD
CD = a - (ac/(b + c))
[From eq 1]
CD = (a × (b+ c) - ac )/(b + c)
CD = (ab + ac - ac)/(b + c)
CD = ab/(b + c)
Hence, proved that, CD = ab/(b + c)
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Answer:
प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल 19.3 सेमी² (लगभग).
Step-by-step explanation:
भाग I के लिए (त्रिभुज)
माना समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएं a = 5 सेमी , b = 5 सेमी c = 1 सेमी
त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (5 + 5 + 1)/2
s = 11/2 सेमी
s = 5.5 सेमी
हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल , A = √[s (s - a) (s - b) (s - c)]
A = √5.5(5.5 – 5) (5.5 – 5) (5.5 – 1)
A = √5.5 × 0.5 × 0.5 × 4.5
A = √5.5 × 0.5 × 0.5 × 4.5
A = 0.75√11
A = 0.75 × 3.32
त्रिभुज का क्षेत्रफल, A (भाग I) = 2.49 सेमी² (लगभग)
भाग II( आयात)
आयात की भुजाएं l = 6.5 सेमी तथा b = 1 सेमी
आयात का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = l × b
आयात का क्षेत्रफल = 6.5 × 1
आयात का क्षेत्रफल (भाग II) = 6.5 सेमी²
भाग III ( समद्विबाहु समलंब)
∆ AMD में,
AD = 1cm (दिया है)
AM + NB = AB – MN = 2 - 1 = 1 सेमी
AM + NB = 1 सेमी
∴ AM = 0.5cm
अब ,AD² = AM² + MD²
[पाइथागोरस प्रमेय से ]
MD² = 1² – 0.5²
MD² = 1- 0.25 = 0.75
MD = √0.75 = √75/100
MD = √3/4 सेमी
अब, समद्विबाहु समलंब का क्षेत्रफल = ½(समांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई
= ½ × (AB + DC) × MD
= ½ × (2 + 1) × √3/4
= ½(3) ×√(3/4)
= ½ × 3 × √3 × 2
= (3/4)√3
= (3/4) × 1.73
[√3 = 1.73....]
= 1.30 सेमी² (लगभग)
अतः, समद्विबाहु समलंब का क्षेत्रफल (भाग III) = 1.30 सेमी²
भाग IV तथा V समकोण त्रिभुज है , जिसमें भुजाएं 6 सेमी तथा 1.5 सेमी है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × (½ × 6 × 1.5)
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल (भाग IV तथा V ) = 9 सेमी²
प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल = भागों (I + II + III + IV & V) का क्षेत्रफल
= (2.49 + 6.5 + 1.30 + 9)
= 19.3 सेमी² (लगभग)
अतः, प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल 19.3 सेमी² (लगभग).
आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।
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