Question

Int(x^3)/(x^2+x+1) dx

Answer 1

☯ Explanation,

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$\tt \green\bigstar \: \int \bigg(\dfrac{x {}^{3} }{x {}^{2} + x + 1} \bigg)dx \\ \\ \\ : \implies \int \tt\bigg(x - 1 + \dfrac{1}{ x {}^{2} + x + 1 } \bigg)dx \\ \\ \\ : \implies \int \tt x \: dx - \int 1 \: dx + \int \bigg( \frac{1}{x {}^{2} + x + 1 } \bigg)dx \\ \\ \\ : \implies \tt \: \dfrac{x {}^{2} }{2} - \int 1 \: dx + \int \bigg( \frac{1}{x {}^{2} + x + 1 } \bigg)dx \\ \\ \\ : \implies \tt \: \dfrac{x {}^{2} }{2} - x+ \int \bigg( \frac{1}{x {}^{2} + x + 1 } \bigg)dx \\ \\ \\ : \implies \tt \: \dfrac{x {}^{2} }{2} - x + \dfrac{2 \sqrt{3} \: arctan \: \bigg( \dfrac{2 \sqrt{3}x + \sqrt{3} }{3} \bigg) }{3} \\ \\ \\ : \implies \boxed{ \tt\dfrac{x {}^{2} }{2} - x + \dfrac{2 \sqrt{3} \: arctan \: \bigg( \dfrac{2 \sqrt{3}x + \sqrt{3} }{3} \bigg) }{3} + c} \red \bigstar$

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☯ Know to more,

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• Power rule.

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$\bigstar\tt \int x {}^{n} .dx \: \rightarrow \: \dfrac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + c$

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• Multiplication by constant (c).

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$\bigstar\tt \int c \: f(x).dx \: \rightarrow \: c \int f(x).dx$

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• Sum rule.

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$\bigstar\tt \int (f + g)dx \rightarrow \: \int fdx \: + \: \int gdx$

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• Difference rule.

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$\bigstar\tt \int (f - g)dx \rightarrow \: \int fdx \: - \: \int gdx$

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