Question

integral -1 to 1 log(1+sin x)/(1-sin x ) dx​

Answer 1

Question :

$\tt\int\limits_{-1}^{1}\log[\dfrac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x}]dx$

Formula's used :

$\sf\green{We\:Know\:that}$

$\sf\int\limits_{-a}^{a}f(x)\:dx=0,\:if\:f(-x)=-f(x)$

and , $\sf\int\limits_{-a}^{a}f(x)\:dx=2\int\limits_{0}^{a}f(x)\:dx,\:if\:f(-x)=f(x)$

Solution :

$\sf\int\limits_{-1}^{1}\log(\frac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x})dx$

Let $\sf\:f(x)=\log(\frac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x})$

$\sf\:f(-x)=\log(\frac{1-\sin\:x}{1+\sin\:x})$

We know that :

$\sf-\log(\frac{a}{b})=\log(\frac{b}{a})$

Thus ,

$\sf\implies\:f(-x)=-\log(\frac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x})$

$\sf\implies\:f(-x)=-f(x)$

Hence ,

$\tt\int\limits_{-1}^{1}\log(\frac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x})dx=0$

Answer 2

Answer:

Formula's used :

\sf\green{We\:Know\:that}WeKnowthat

\sf\int\limits_{-a}^{a}f(x)\:dx=0,\:if\:f(-x)=-f(x)

−a

∫

a

f(x)dx=0,iff(−x)=−f(x)

and , \sf\int\limits_{-a}^{a}f(x)\:dx=2\int\limits_{0}^{a}f(x)\:dx,\:if\:f(-x)=f(x)

−a

∫

a

f(x)dx=2

0

∫

a

f(x)dx,iff(−x)=f(x)

Solution :

\sf\int\limits_{-1}^{1}\log(\frac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x})dx

−1

∫

1

log(

1−sinx

1+sinx

)dx

Let \sf\:f(x)=\log(\frac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x})f(x)=log(

1−sinx

1+sinx

)

\sf\:f(-x)=\log(\frac{1-\sin\:x}{1+\sin\:x})f(−x)=log(

1+sinx

1−sinx

)

We know that :

\sf-\log(\frac{a}{b})=\log(\frac{b}{a})−log(

b

a

)=log(

a

b

)

Thus ,

\sf\implies\:f(-x)=-\log(\frac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x})⟹f(−x)=−log(

1−sinx

1+sinx

)

\sf\implies\:f(-x)=-f(x)⟹f(−x)=−f(x)

Hence ,

\tt\int\limits_{-1}^{1}\log(\frac{1+\sin\:x}{1-\sin\:x})dx=0

−1

∫

1

log(

1−sinx

1+sinx

)dx=0