Question

integral cotx/cosecx-cotx

Answer 1

$\textsf{First we have to modify the integrand in such a way}$

$\textsf{that it suitable for integration}$

$\int\;\frac{cotx}{cosecx-cotx}\;dx$

$\textsf{Multiply both numerator and denominator by cosecx+cotx}$

$=\int\;\frac{cotx}{cosecx-cotx}{\times}\frac{cosecx+cotx}{cosecx+cotx}\;dx$

$=\int\;\frac{cotx(cosecx+cotx)}{cosec^2x-co^2tx}\;dx$

$=\int\;\frac{cosecx\,cotx+cot^2x}{1}\;dx$

$=\int[cosecx\,cotx+(cosec^2x-1)]\;dx$

$=\int[cosecx\,cotx+cosec^2x-1]\;dx$

$=-cosecx+(-cotx)-x+c$

$=-(x+cosecx+cotx)+c$

$\implies\bf\int\;\frac{cotx}{cosecx-cotx}\;dx=-(x+cosecx+cotx)+c$