Question

integral of(x³+3x²+6x+6)cos2x dx using bernoulli's formula​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{\displaystyle\int\,(x^3+3x^2+6x+6)cos2x\;dx}$

$\textbf{To evaluate:}$

$\mathsf{\displaystyle\int\,(x^3+3x^2+6x+6)cos2x\;dx}$

$\textbf{Solution:}$

$\underline{\textsf{Bernoulli's formula:}}$

$\mathsf{\displaystyle\int\,u\,dv=uv-u'v_1+u''v_2-u'''v_3+\;.\;.\;.\;.\;.}$

$\mathsf{Take,}$

$\mathsf{u=x^3+3x^2+6x+6}$

$\mathsf{u'=3x^2+6x+6}$

$\mathsf{u''=6x+6}$

$\mathsf{u'''=6}$

$\mathsf{and}$

$\mathsf{dv=cos2x\,dx}$

$\mathsf{\displystyle\int\,dv=\int\,cos2x\,dx}$

$\mathsf{v=\dfrac{sin2x}{2}}$

$\mathsf{v_1=\dfrac{-cos2x}{4}}$

$\mathsf{v_2=\dfrac{-sin2x}{8}}$

$\mathsf{v_3=\dfrac{cos2x}{16}}$

$\mathsf{By\;Bernoulli's\;formula,}$

$\mathsf{\displaystyle\int\,(x^3+3x^2+6x+6)cos2x\;dx}$

$\mathsf{=(x^3+3x^2+6x+6)\dfrac{sin2x}{2}-(3x^2+6x+6)\left(\dfrac{-cos2x}{4}\right)+(6x+6)\left(\dfrac{-sin2x}{8}\right)-6\left(\dfrac{cos2x}{16}\right)+C}$

$\mathsf{=(x^3+3x^2+6x+6)\dfrac{sin2x}{2}+(3x^2+6x+6)\left(\dfrac{cos2x}{4}\right)-6(x+1)\left(\dfrac{sin2x}{8}\right)-3\left(\dfrac{cos2x}{8}\right)+C}$

$\mathsf{=(x^3+3x^2+6x+6)\dfrac{sin2x}{2}+(3x^2+6x+6)\left(\dfrac{cos2x}{4}\right)-3(x+1)\left(\dfrac{sin2x}{4}\right)-3\left(\dfrac{cos2x}{8}\right)+C}$

$\textbf{Find more:}$

Limit 0 to Pi /2 integration xsinx

https://brainly.in/question/5372600