Question

integrate 1/x²(x⁴+1)^¾​

Answer 1

Answer:

it is the answer of your questions.

Answer 2

$\\ \\ \: \: \rm\large \underline\purple {\: { \: Solution :-}}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{1}{ {x}^{2}( {x}^{4} + 1)^{ \frac{3}{4} } }$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int \: \frac{1dx}{ {x}^{2}( {x}^{4} + 1) ^{ \frac{3}{4} } }$

$\\ \sf \: Taking \: \: {x}^{4} \: \: common \: from \: denominator$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: \: \int \: \frac{1dx}{ {x}^{2} ( {x}^{4}) ^{ \frac{3}{4} } \bigg(1 + \frac{1}{ {x}^{4} } \bigg) ^{ \frac{3}{4} } }$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: \: \int \: \frac{1dx}{ {x}^{2} ( {x}^{3}) ^{ } \bigg(1 + \frac{1}{ {x}^{4} } \bigg) ^{ \frac{3}{4} } }$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: \: \int \: \frac{1dx}{ {x}^{5} \bigg(1 + \frac{1}{ {x}^{4} } \bigg) ^{ \frac{3}{4} } }$

$\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \: let \: \bold t \: = 1 + \frac{1}{ {x}^{4} } ,$

$\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \therefore \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \: \: \: \frac{dt}{dx} = \frac{ - 4}{ {x}^{5} }$

$\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \longrightarrow \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \: \: \: \frac{dt}{4} = \frac{ dx}{ {x}^{5} }$

$\\ \sf \: Substituting \: value \: of \: x \: and \: dx,$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: \frac{ - 1}{4} \: \int \: \frac{dt}{ {t}^{ \frac{3 }{4} } }$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: \frac{ - 1}{4} \: \int \: \frac{ - 3}{ {t}^{ {4} } } \: dt$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: \frac{ - 1}{4} \: \int \: \bigg [ \frac{t - \: \frac{ 3}{ {}^{ {4} } } + 1 }{\frac{ - 3}{ {}^{ {4} } } + 1} \bigg] + C$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: \frac{ - 1}{4} \: \int \: \bigg [ \frac{ \: \frac{ 1}{ {t}^{ {4} } } }{\frac{ 1}{ {}^{ {4} } }} \bigg] + C$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: ( - t) \: \: \frac{1}{4} + C$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies \: - \bigg (1 + \: \: \frac{1}{ x^{4} } \bigg)^{ \frac{1}{4} } + C$