Question

Integrate [√cot x +√ tan x ]dx​

Answer 1

$\rm \implies \displaystyle \int \rm ( \sqrt{cot \: x} + \sqrt{tan \: x} \: \: )dx$

$\rm \implies \displaystyle \int \rm \bigg( \sqrt{ \dfrac{cos\: x}{sin\: x} } + \sqrt{ \dfrac{sin\: x}{cos\: x} } \: \bigg )dx$

$\rm \implies \displaystyle \int \rm \bigg({ \dfrac{\sqrt {cos\: x}}{\sqrt{sin\: x}} } + { \dfrac{\sqrt{sin\: x}}{\sqrt{cos\: x} }} \: \bigg )dx$

$\rm \implies \displaystyle \int \rm { \dfrac{{cos\: x + sin \: x}}{\sqrt{sin\: x \: cos\: x}} } \: \: dx$

$\rm \implies \displaystyle \int \rm { \dfrac{ \sqrt{2} \times ({cos\: x + sin \: x})}{ \sqrt{2} \times \sqrt{sin\: x \: cos\: x}} } \: \: dx$

$\rm \implies \displaystyle \int \rm { \dfrac{ \sqrt{2} \: \: ({cos\: x + sin \: x})}{ \sqrt{2 \: sin\: x \: cos\: x}} } \: \: dx$

We know that :-

2 sinx cosx = 1 - (sinx - cosx)²

$\rm \implies \displaystyle \int \rm { \dfrac{ \sqrt{2} \: \: ({cos\: x + sin \: x})}{ \sqrt{1 - {(sin \: x - cos \: x)}^{2} } } } \: \: dx$

$\rm \implies \: \sqrt{2} \displaystyle \int \rm { \dfrac{ \: \: ({cos\: x + sin \: x})}{ \sqrt{1 - {(sin \: x - cos \: x)}^{2} } } } \: \: dx$

Let , sinx - cosx = t

(cosx + sinx ) dx = dt

$\rm \implies \: \sqrt{2} \displaystyle \int \rm { \dfrac{ \: \: dt}{ \sqrt{1 - {t}^{2} } } } \: \: dx$

$\rm \implies \: \sqrt{2} \: \: {sin}^{ - 1} t + c$

Now put t = sinx -cos x

$\rm \implies \: \sqrt{2} \: \: {sin}^{ - 1}( sin \: x - cos \: x) + c$