Question

integrate (x ^ 3 * cos x/2 + 1/2) * sqrt(4 - x ^ 2) dx from - 2 to 2​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{\displaystyle\int\limits^2_{-2}\;\left(x^3\;cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\,\dfrac{1}{2}\right)\;\sqrt{4-x^2}\;dx}$

$\textbf{To evaluate:}$

$\mathsf{\displaystyle\int\limits^2_{-2}\;\left(x^3\;cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\,\dfrac{1}{2}\right)\;\sqrt{4-x^2}\;dx}$

$\textbf{Solution:}$

$\underline{\textsf{Concept used:}}$

$\mathsf{\displaystyle\int\limits^a_{-a}\,f(x)\;dx=\2\displaystyle\int\limits^a_{0}\,f(x)\;dx\;if\;f(x)\;is\;even}$

$\mathsf{\displaystyle\int\limits^a_{-a}\,f(x)\;dx=0\;if\;f(x)\;is\;odd}$

$\mathsf{Let\;f(x)=\left(x^3\;cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\,\dfrac{1}{2}\right)\;\sqrt{4-x^2}}$

$\mathsf{f(-x)=\left((-x)^3\;cos\left(\dfrac{-x}{2}\right)\,\dfrac{1}{2}\right)\;\sqrt{4-(-x)^2}}$

$\mathsf{f(-x)=\left(-x^3\;cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\,\dfrac{1}{2}\right)\;\sqrt{4-x^2}}$

$\mathsf{f(-x)=-\left(x^3\;cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\,\dfrac{1}{2}\right)\;\sqrt{4-x^2}}$

$\implies\mathsf{f(-x)=-f(x)}$

$\therefore\mathsf{f(x)\;is\;an\;odd\;function}$

By properties of definite integrals,

$\mathsf{\displaystyle\int\limits^2_{-2}\;\left(x^3\;cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\,\dfrac{1}{2}\right)\;\sqrt{4-x^2}\;dx=0}$

$\textbf{Find more:}$

Answer 2

Answer:

π

Step-by-step explanation:

check the pic above for solution