Question

integration of sec^4/3x.cosec^8/3x dx

Answer 1

this is the answer for given question

Answer 2

Answer:

           $\int sec^{\frac{4}{3} } x.cosec^{\frac{8}{3} } xdx=\frac{-3}{5} {tan^{\frac{-5}{3} x}+3 tan^{\frac{1}{3} }x}+C$

Step-by-step explanation:

                                            $I=\int sec^{\frac{4}{3} } x.cosec^{\frac{8}{3} } xdx$

Since, $\sec x=\frac{1}{cosx} \ \&\ cosecx=\frac{1}{sinx}$

                                           $I=\int \frac{1}{cos^{\frac{4}{3} }x } .\frac{1}{sin^{\frac{8}{3} } x} dx$

Dividing and multiplying ${cos^{\frac{8}{3} } x$

                                          $I=\int \frac{1}{cos^{\frac{4}{3} } x} \frac{1}{sin^{\frac{8}{3} } x} \frac{cos^{\frac{8}{3} } x}{cos^{\frac{8}{3} } x} dx$

                                             $=\int \frac{{sec^{4 } x} }{tan^{\frac{8}{3} } x} dx$

Using $sec^{2} x+tan^{2} x=1$

                                           $I=\int \frac{{sec^{2 } x} (1+tan^{2} x)}{tan^{\frac{8}{3} } x} dx$

Let $tan\ x=t\implies sec^{2} x\ dx=dt$

                                          $I=\int {(1+t^{2})(t^{\frac{-8}{3} })} dt$

                                            $=\int {t^{\frac{-8}{3} }dt+\int t^{\frac{-2}{3} }} dt$

Using $\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1} }{n+1}$

                                        $I=\frac{-3}{5} {t^{\frac{-5}{3} }+3 t^{\frac{1}{3} }}+C$

Substituting back, $t=tan\ x$

                                    $I=\frac{-3}{5} {tan^{\frac{-5}{3} x}+3 tan^{\frac{1}{3} }x}+C$

Therefore, $\int sec^{\frac{4}{3} } x.cosec^{\frac{8}{3} } xdx=\frac{-3}{5} {tan^{\frac{-5}{3} x}+3 tan^{\frac{1}{3} }x}+C$