Question

It's a challenge from an IITian could anyone solve that...??

Answer 1

$\bf \huge \underline \red{solution}$

$\bf \: F(x) = {x}^{2} - ( a - 2 ) x - a - 1$

$\bf \alpha + \beta \: = a - 2$

$\bf \alpha \beta = - (a + 1)$

$\bf( \alpha + \beta {)}^{2} = { \alpha }^{2} + { \beta }^{2} + 2 \alpha \beta$

$\bf { \alpha }^{2} + { \beta }^{2} = ( \alpha + \beta {)}^{2} - 2 \alpha \beta$

$\bf(a - 2 {)}^{2} + 2( \alpha + 1)$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \huge \underline \pink{then}$

$\bf \frac{ \alpha }{ { \alpha }^{x} } ((a - 2 {)}^{2} + 2(a + 1)) = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf2(a - 2)(1) + 2 = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \: a - 2 = - 1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \: a = 1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \huge \underline \pink{finally}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \: maximum \: value \: of \: \alpha = 1$

$\: \: \: \: \: \: \bf \: max. \: volume \: of \: { \alpha ^{2} } + { \beta }^{2}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf = (1 - 2 {)}^{2} + 2(1 + 1)$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf = 1 + 4$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf = \underline {5}$

Answer 2

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \huge \fbox \blue {solution}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \: F(x)=x^2-(a-2)x-a-1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \alpha + \beta = a - 2$

$\: \: \: \: \: \: \: \bf \alpha \beta = - (a + 1)$

$\: \: \: \: \: \: \: \bf( \alpha + \beta {)}^{2} = { \alpha }^{2} + { \beta }^{2} + 2 \alpha \beta$

$\: \: \: \: \: \: \: \bf { \alpha }^{2} + { \beta }^{2} = ( \alpha + \beta {)}^{2} - 2 \alpha \beta$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf( \alpha - 2 {)}^{2} + 2( \alpha + 1)$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \huge \colorbox{pink}{next}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \frac{ \alpha }{ \alpha {}^{x} } (( \alpha - 2 {)}^{2} + 2( \alpha + 1)) = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf2( \alpha - 2)(1) + 2 = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \alpha - 2 = - 1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \alpha = 1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \huge \underline \orange{finally}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \: Max. \: value \: of \: \alpha = 1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \: Max. \: volume \: of \: { \alpha }^{2} + { \beta }^{2}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf = (1 - 2 {)}^{2} + 2(1 + 1)$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf = 1 + 4$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf = \underline \blue{5}$

★ Hope You Understand this concept mate ★