Question

किन्हीं दो समुच्चयों A तथा B के लिए सिद्ध कीजिए कि,
$A = ( A \cap B ) \cup ( A – B )$ और $A \cup ( B – A ) = ( A \cup B )$

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

(i)    A  =   (A ∩ B) ∪ ( A - B )

     R.H.S.  =   (A ∩ B) ∪ ( A - B )

                 =   (A ∩ B) ∪ ( A ∩ B' )            [ ∵ A - B = A ∩ B' ]

                 =   A ∩ ( B ∪ B' )                     ( वितरण गुण  )

                 =   A ∩ U                                  [ U सार्वत्रिक समुच्चय ]

                 =  A  =  L.H.S.

अतः (A ∩ B) ∪ ( A - B ) =  A

(ii)  A ∪ ( B - A )   =  ( A ∪ B )

   L.H.S.    =   A ∪ ( B - A )

                 =   A ∪ ( B ∩ A' )                  [ ∵ B - A = B ∩ A' ]

                 =   ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ A' )        ( वितरण गुण  )

                 =   ( A ∪ B ) ∩ U                    [ U सार्वत्रिक समुच्चय ]

                 =   ( A ∪ B )  = R.H.S.

अतः A ∪ ( B - A )   =  ( A ∪ B )