Question

किन पूर्णांकों m और n के लिए $\lim_{xrightarrow 0} f(x)$ और $\lim_{xrightarrow 1} f(x)[/tex\ दोनों का अस्तित्व है, यदि [tex]f(x) = \right \begin{cases} mx^2 + n , \,\,\,\,\,x \ \textless \ 0 \\\atop nx + m, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \,\leq x \leq 1 \\\atop nx^3 + m, \, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\,\, \ \textgreater \ 1 \end{cases}$

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

हम जानते है कि किसी भी बिंदु पर एक सीमा के अस्तित्व को जाँचने के लिए बायीं सीमा (L.H.L.) तथा दायीं सीमा  (R.H.L.) उस बिन्दु पर बराबर या समान होती है।  

अतः  $\lim_x_\rightarrow _0f(x)$ के अस्तित्व के लिए  

$\lim_x_\rightarrow _0^-f(x)=\lim_h_\rightarrow _0f(0-h)\\\\=m.0+n=n\\\\\lim_x_\rightarrow _0^+=\lim_h_\rightarrow _0f(0+h)\\\\=n.0+m=m$

अर्थात     n  =  m

अतः  $\lim_x_\rightarrow _0f(x)$  अस्तित्व में है यदि सभी   m = n

पुनः  $\lim_x_\rightarrow _1f(x)$  के अस्तित्व के लिए  

$\lim_x_\rightarrow _1^-f(x)=\lim_h_\rightarrow _0f(1-h)\\\\=n(1-0)+m=m+n\\\\\lim_x_\rightarrow _1^+f(x)=\lim_h_\rightarrow _0f(1+h)\\\\=n(1+0)^3+m=m+n$

अतः    m + n  =  m + n

अर्थात  $\lim_x_\rightarrow _0f(x)$ के अस्तित्व हेतु  m = n अनिवार्य रूप से होना चाहिए तथा  m तथा  n  के किसी भी पूर्णांक मान के लिए $\lim_x_\rightarrow _1f(x)$ का अस्तित्व है।