किसी त्रिभुज ABC की माधिकाए CD तथा BE एक-दुसरे को बिन्दु O पर काटती है तो क्षैत्रफल त्रिभुज ODE : त्रिभुज ABC = ?
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Answer:
दिया गया है कि,
हमें दर्शाना है :
प्रमाण : अब त्रिभुज ABC में AD को E तक इस तरह बढ़ाया गया कि AD = DE तथा E को B तथा C से मिलाया गया। उसी तरह त्रिभुज PQR में, PM = ML खींचा गया तथा L को Q तथा R से मिलाया गया।
प्रश्न के अनुसार AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,
अत: BD = DC तथा QM = MR तथा बनाबट के अनुसार,
AD = DE तथा PM = ML
अब चतुर्भुज ABED में,
हम देख रहे हैं कि , विकर्ण AE तथा BC एक दूसरे को D बिन्दु पर समद्विभाजित करते हैं,
अत: ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
अत: AC = BE तथा AB = EC
[चूँकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने की भुजा बराबर होती हैं]
उसी प्रकार PQLR भी एक समांतर चतुर्भुज है तथा PR = QL तथा PQ = LR
अब प्रश्न के अनुसार,
AB/PQ=AC/PR=AD/PM
⇒AB/PQ=BE/QL=(2⋅AD)/(2⋅PM)
⇒AB/PQ=BE/QL=AE/PL
अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के आधार पर,
अत: ∠BAE=∠QPL --------- (i)
[चूँकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]
उसी प्रकार, सिद्ध किया जा सकता है, कि
अत: ∠CAE = ∠RPL ------------ (ii)
[चूँकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]
अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर,
∠BAE+∠CAE=∠QPL+∠RPL
⇒∠CAB=∠RPQ --------- (iii) [ चित्र को ध्यान से देखें]
अब त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR में,
प्रश्न के अनुसार,
AB/PQ=AC/PR
तथा समीकरण (iii) से ⇒∠CAB=∠RPQ
अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर,
.
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