Question

किसी त्रिभुज ABC में, यदि $\angle A$ का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।

Answer 1

Answer:  Step-by-step explanation:

(i) माना ∠A  का समद्विभाजक ∆ABC के परिवृत्त को M पर मिलाता है।

BM तथा CM को मिलाते है।

∴∠MBC = ∠MAC

(∵ एक ही वृत्तखंड के कोण हैं)  

तथा  

∠BCM = ∠BAM

(∵ एक ही वृत्तखंड के कोण हैं)  

परन्तु ∠BAM= ∠CAM..........(i)

[ ∵ ∠A का समद्विभाजक AM है]

∴ ∠MBC = ∠BCM

अतः MB = MC

[∵ समान कोणों की सम्मुख भुजाएं भी समान होती हैं]

अतः M, BC के लंबार्द्धक पर अवश्य स्थित होगा।

 

(ii)  

माना BC के लंबार्द्धक पर बिन्दु M है जो ∆ABC के परिवृत्त पर स्थित है। AM को मिलाते है।  

चूंकि BC के लंबार्द्धक पर M स्थित है।

∴ BM = CM

∠MBC = ∠MCB

परन्तु  ∠MBC = ∠MAC

(एक ही वृत्तखंड के कोण हैं)  

∠MCB = ∠BAM

(एक ही वृत्तखंड के कोण हैं)  

अतः सभी (i) से  

∠BAM = ∠CAM

[ ∠A का समद्विभाजक AM है]

अतः ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक ∆ABC के परिवृत्त पर बिंदु M पर मिलते हैं।  

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

 

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