किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सिद्ध कीजिये कि n^3- n, 6 से विभाजित है
Answers
हमे सिद्ध करना है कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, n³ - n, 6 से विभाजित है ।
सत्यापन : हम जानते हैं कि धनात्मक पूर्णांक या तो सम होगा या विषम । यदि n³ - n, दोनों ही परिस्थितियों में 6 से विभाजित होता है तो यह अवश्य ही 6 किसी भी धनात्मक पूर्णांक से विभाजित होगा ।
case 1 : जब n एक सम संख्या हो तो, n = 2k , जहां k = 1, 2, 3, 4, ....
⇒n³ - n = (2k)³ - 2k = 8k³ - 2k = 2k(4k² - 1)
k = 1,
2(1)(4(1)² -1) = 2 × 3 = 6
k = 2,
2 × 2(4 × 2² - 1) = 4 × 15 = 60
k = 3,
2 × 3 (4 × 3² - 1) = 6(35)
... ..
हम देखते हैं कि जब n एक सम संख्या होती है तो n³ - n , 6 से विभाजित होती है ।
case 2 : जब n एक विषम संख्या हो तो, n = 2k + 1 , जहां k = 1, 2, 3, 4, ....
n³ - n = (2k + 1)³ - (2k + 1) = (2k + 1)[(2k + 1)² - 1]
= (2k + 1)[4k² + 4k ]
= 4k(2k + 1)(k + 1)
if k = 1,
= 4(2 × 1 + 1)(1 + 1) = 24
k = 2,
= 4(2)(2 × 2 + 1)(2 + 1) = 8 × 5 × 3 = 120
k = 3,
= 4(3)(2 × 3 + 1)(3 + 1) = 12 × 7 × 4 = 336
... ..
हम देखते हैं कि जब n एक विषम संख्या होती है तो n³ - n , 6 से विभाजित होती है ।
अतः किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए , n³ - n, 6 से विभाजित है |
Step-by-step explanation:
प्रश्न:- किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सिद्ध कीजिए कि n^3 – n, 6 से विभाजित है।
हलः
दिया है,
n^3 – n = (n – 1) n (n + 1)
जोकि क्रमशः तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल है।
माना n एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है।
चूँकि कोई भी धनात्मक पूर्णांक 64 या 6q + 1 या 6q + 2 या 6q + 3 या 6q + 4 या 6q + 5 के रूप का होता है।
यदि n = 6q तब
(n – 1)n (n + 1) = (6q – 1) 6q (6q + 1), जोकि 6 से भाज्य है।
यदि n = 6q + 1 तब
(n – 1)n (n + 1) = 6q(6q + 1)(6q + 2), जोकि 6 से भाज्य है।
यदि n = 6q + 2,
तब (n – 1)n (n + 1) = (6q + 1)(6q + 2)(6q + 3)
= 6 (6q + 1) (3q + 1)(2q + 1) जोकि 6 से विभाज्य है।
इसी प्रकार, (n – 1)n(n + 1), 6 से भाज्य होगा यदि n = 6q + 3; 6q + 4; 6q + 5