किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1,2) और (3,2) हैं) वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए |
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मान लिया कि, ABCD एक वर्ग है जिसके दिये गये सम्मुख शीर्ष A(–1, 2) और C(3, 2) हैं।
मान लिया कि B के निर्देशांक (x, y) D के निर्देशांक (x1,y1)
एक ही वर्ग की भुजाएँ हैं, AB = BC
दो बिन्दुओं (x1, y1) और (x2, y2)के बीच की दूरी , √(x2 – x1)² + (y2 – y1)²
√{(x + 1)² + (y - 2)² } = √{(x - 3)² + (y - 2)² }
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
(x + 1)² + (y - 2)² = (x - 3)² + (y - 2)²
x² + 1 + 2x + y² + 4 - 4y = x² + 9 – 6x + y² + 4 - 4y
x² + 1 + 2x + y² + 4 - 4y - x² - 9 + 6x - y² - 4 + 4y = 0
8x - 8 = 0
8x = 8
x = 8/8
x = 1 …………………(1)
वर्ग के सभी कोण समकोण (90°) होते हैं।
ΔABC में,
AB² + BC² = AC²
(x + 1)² + (y - 2)² + (x - 3)² + (y - 2)² = √{(3 + 1)² + (2 - 2)²
√{(1 + 1)² + (y - 2)²} + √{(1 - 3)² + (y - 2)²} = √{(3 + 1)² + (2 - 2)²}
[समी (1) से]
4 + y² + 4 − 4y + 4 + y² − 4y + 4 = 4²
2y² + 16 − 8 y = 16
2y² − 8 y = 16 - 16
2y² − 8 y = 0
y(y − 4) = 0
y = 0 या 4 …………..(2)
हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को बीच में काटते हैं।
मान लिया कि दिये गये वर्ग में O मध्य बिन्दु है जो AC तथा DB को दो बराबर भागों में बाँटता है।
मध्य बिन्दु O के निर्देशांक = {(-1 + 3)/2, (2 + 2)/2}
O के निर्देशांक = (2/2 , 4/2) = (1,2)
O के निर्देशांक = (1,2)
BD के मध्य बिन्दु O का निर्देशांक = {(1 + x1)/2, (y + y1)/2} = (1, 2)
(1 + x1)/2 = 1
1 + x1 = 2
x1 = 2 - 1
x1 = 1
(y + y1)/2 = 2
y + y1 = 4
जब, y = 0,समी (2) से ,
y1 = 4
जब, y = 4,समी (2) से ,
y1 = 0
अत: दिए गये वर्ग के दो अन्य शीर्षों के निर्देशांक (1, 0) और (1, 4) है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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