Question

लाग्रांज प्रमेय का कथन तथा सिद्ध कीजिए

Answer 1

answer :

गणित में, माध्य मान प्रमेय के अनुसार किन्हीं दो बिन्दुओं के मध्य दिये गये किसी चाप पर कम से कम एक ऐसा बिन्दु विद्यमान होगा जिसपर चाप की स्पर्शरेखा अन्तकविन्दुओं को मिलाने वाली छेदक रेखा के समानान्तर होगी।

यह प्रमेय किसी फलन के किसी दिये गये अन्तराल में, इसके बिन्दुओं के मध्य अवकलज की स्थानिक परिकल्पना से सम्बंधित वैश्विक कथन को सिद्ध करने के लिए काम में ली जाती थी।

अधिक निश्चितता से, यदि कोई फलन f बंद अंतराल [a, b] पर सतत है, जहाँ a<b है तथा विवृत अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है तो (a, b) में कम से कम एक बिन्दु c इस प्रकार विद्यमान होगा कि

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,}{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,}[1]

प्रमेय का विशिष्ट रूप पहली बार केरलीय गणित सम्प्रदाय के गणितज्ञ परमेश्वर (1370–1460) ने गोविन्दस्वामी और भास्कराचार्य के साथ समीक्षा में किया था।[2] माध्यमान प्रमेय का आधुनिक रूप बाद में ऑगस्टिन लुइस कौशी (1789–1857) ने किया। यह प्रमेय अवकलन गणित और गणितीय विश्लेषण में महत्त्वपूर्ण परिणाम देता है और कलन का मूलभूत प्रमेय को सिद्ध करने में बहुत उपयोगी है।

Answer 2

Answer:

लाग्रांज की प्रमेय , में समूह के सिद्धांत , का एक हिस्सा गणित , कहा गया है कि किसी के लिए परिमित समूह जी , क्रम हर की (तत्वों की संख्या) उपसमूह की जी के आदेश बिताते हैं जी । प्रमेय का नाम जोसेफ-लुई लैग्रेंज के नाम पर रखा गया है ।

Step-by-step explanation:

लैग्रेंज का प्रमेय विलोम प्रश्न उठाता है कि क्या समूह के क्रम का प्रत्येक भाजक किसी उपसमूह की कोटि है। यह सामान्य रूप से मान्य नहीं है: एक परिमित समूह G और | का भाजक d दिया गया है G |, जरूरी नहीं कि क्रम d के साथ G का एक उपसमूह मौजूद हो । सबसे छोटा उदाहरण ए 4|

एक "लैग्रेंज के प्रमेय का कनवर्स" (सीएलटी) समूह संपत्ति के साथ एक परिमित समूह है जो समूह के क्रम के प्रत्येक भाजक के लिए, उस क्रम का एक उपसमूह होता है। यह ज्ञात है कि एक सीएलटी समूह को हल करने योग्य होना चाहिए और प्रत्येक सुपरसॉल्वेबल समूह एक सीएलटी समूह है। हालांकि, ऐसे हल करने योग्य समूह मौजूद हैं |

लैग्रेंज के प्रमेय के आंशिक विलोम हैं। सामान्य समूहों के लिए, कॉची का प्रमेय एक तत्व के अस्तित्व की गारंटी देता है, और इसलिए एक चक्रीय उपसमूह के क्रम में, समूह क्रम को विभाजित करने वाला कोई भी प्रमुख क्रम। सिलो का प्रमेय इसे समूह क्रम को विभाजित करने वाले किसी भी अभाज्य की अधिकतम शक्ति के बराबर क्रम के उपसमूह के अस्तित्व तक बढ़ाता है। हल करने योग्य समूहों के लिए, हॉल के प्रमेय समूह क्रम के किसी भी एकात्मक भाजक के बराबर क्रम के उपसमूह के अस्तित्व पर |

#SPJ3