Question

Let 'a' satisfy the equation log7(5a) - log 7(a-4)=1 and 'b' satisfies the equation e^2b+5^eb=a. Find the value of e^5b (a,b are real numbers)

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{log_{\,7}(5a)-log_{\,7}(a-4)=1}$

$\mathsf{and\;e^{2b}+5\,e^b=a}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of}\;\mathsf{e^{5b}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{log_{\,7}(5a)-log_{\,7}(a-4)=1}$

$\implies\mathsf{log_{\,7}\left(\dfrac{5a}{a-4}\right)=1}$

$\implies\mathsf{\dfrac{5a}{a-4}=7}$

$\implies\mathsf{5a=7(a-4)}$

$\implies\mathsf{5a=7a-28}$

$\implies\mathsf{-2a=-28}$

$\implies\mathsf{a=14}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{e^{2b}+5\,e^b=a}$

$\implies\mathsf{e^{2b}+5\,e^b=14}$

$\implies\mathsf{x2+5x-14=0}\;\;\mathsf{where,\;x=e^b}$

$\implies\mathsf{(x+7)(x-2)=0}$

$\implies\mathsf{x=-7,2}$

$\mathsf{x=-7\;\implies\;e^b=-7\;This\;is\;not\;possible}$

$\mathsf{x=2\;\implies\;e^b=2}$

$\mathsf{e^{5b}=(e^b)^5=2^5=32}$

$\therefore\mathsf{The\;value\;of\;e^{5b}\;is\;32}$