Question

Let x denotes the minimum of the two numbers that appear when a pair of fair dice is thrown once. Determine (i) discrete probability distribution (ii) expectation (iii) variance

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

Answer 2

Mean = 2.53

Variance = 1.97

Step-by-step explanation:

We are given that x denotes the minimum of the two numbers that appear when a pair of fair dice is thrown once.

So firstly, the Sample space on throwing a pair of dice is ;

S = (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)

     (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)

     (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)

     (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)

     (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6)

     (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)

Now, the probability distribution for random variable x is ;

       X                                  P(X)

       1                                    $\frac{11}{36}$

       2                                   $\frac{9}{36}$

       3                                   $\frac{7}{36}$

       4                                   $\frac{5}{36}$

       5                                   $\frac{3}{36}$

       6                                   $\frac{1}{36}$

Here, the probability of  $\frac{11}{36}$ represents that there are 11 cases where 1 is the minimum of two numbers that appears on the dice.

Now, for calculating mean and variance;

      X                                  P(X)                  $X \times P(X)$            $X^{2} \times P(X)$

       1                                    $\frac{11}{36}$                         $\frac{11}{36}$                        $\frac{11}{36}$

       2                                   $\frac{9}{36}$                         $\frac{18}{36}$                        $\frac{72}{36}$

       3                                   $\frac{7}{36}$                         $\frac{21}{36}$                        $\frac{63}{36}$

       4                                   $\frac{5}{36}$                         $\frac{20}{36}$                        $\frac{80}{36}$

       5                                   $\frac{3}{36}$                         $\frac{15}{36}$                        $\frac{75}{36}$

       6                                   $\frac{1}{36}$                        $\frac{6}{36}$                      $\frac{36}{36}$      

    Total                                                          $\frac{91}{36}$                       $\frac{301}{36}$    

Now, Mean of the discrete probability distribution is ;

                Mean  =  $\sum X \times P(X)$

                           =  $\frac{91}{36}$  = 2.53

And the variance of the distribution is given by;

            Variance =  $\sum X^{2} \times P(X)- (\sum X \times P(X))^{2}$

                            =  $\frac{301}{36} - (\frac{91}{36} )^{2}$

                            =  1.97