Question

Lim x=0 log(3+x)-log(3-x)/x=K

Answer 1

Appropriate Question :-

☆ Find the value of k if

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \bf \: \dfrac{ log(3 + x) - log(3 - x) }{x} = k$

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log(3 + x) - log(3 - x) }{x} = k$

If we substitute directly x = 0, we get indeterminant form.

Consider,

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log(3 + x) - log(3 - x) }{x} = k$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log\bigg(\dfrac{3 + x}{3 - x} \bigg) }{x} = k$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bigg \{ \because \: log(x) - log(y) = log( \dfrac{x}{y} )\bigg \}}$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log\bigg(\dfrac{3 + x}{3 - x} \bigg) }{x} = k$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log\bigg(1 + \dfrac{3 + x}{3 - x} - 1\bigg) }{x} = k$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log\bigg(1 + \dfrac{3 + x - 3 + x}{3 - x} \bigg) }{x} = k$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log\bigg(1 + \dfrac{2x}{3 - x} \bigg) }{x} = k$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log\bigg(1 + \dfrac{2x}{3 - x} \bigg) }{\dfrac{2}{3 - x} \times x \times \dfrac{3 - x}{2} } = k$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log\bigg(1 + \dfrac{2x}{3 - x} \bigg)}{\dfrac{2x}{3 - x} } \times \dfrac{2}{3 - x} = k$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bigg \{ \because \:\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log(1 + x) }{x} = 1 \bigg \}}$

$\bf\implies \:k = \dfrac{2}{3}$

Additional Information :-

$\boxed{ \sf \: \rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log(1 + x) }{x} = 1}$

$\boxed{ \sf \: \rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{sinx }{x} = 1}$

$\boxed{ \sf \: \rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{tanx }{x} = 1}$

$\boxed{ \sf \: \rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ {sin}^{ - 1} x }{x} = 1}$

$\boxed{ \sf \: \rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ {tan}^{ - 1} x }{x} = 1}$

$\boxed{ \sf \: \rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ {e}^{x} - 1 }{x} = 1}$

$\boxed{ \sf \: \rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ {a}^{x} - 1 }{x} = loga}$