Question

limit x tends to infinity ​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: \infty } \sf \: \dfrac{(2x + 3)(3x + 5)}{(4x + 1)(5x - 2)}$

$\rm \: \: = \: \: \: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: \infty } \sf \: \dfrac{ \cancel{x}\bigg(2 + \dfrac{3}{x} \bigg) \:\cancel x\bigg(3 + \dfrac{5}{x} \bigg)}{\cancel{x}\bigg(4 + \dfrac{1}{x} \bigg) \:\cancel x\bigg(5 - \dfrac{2}{x} \bigg)}$

$\rm \: \: = \: \: \dfrac{(2 + 0)(3 + 0)}{(4 + 0)(5 - 0)}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bigg \{ \because \:\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: \infty } \sf \:\dfrac{1}{x} = 0\bigg \}}$

$\rm \: \: = \: \: \dfrac{2 \times 3}{4 \times 5}$

$\rm \: \: = \: \: \dfrac{3}{10}$

Hence,

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: \infty } \bf \: \dfrac{(2x + 3)(3x + 5)}{(4x + 1)(5x - 2)} = \dfrac{3}{10}$

Additional Information :-

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{ log(1 + x) }{x} = 1$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{sinx }{x} = 1$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{tanx }{x} = 1$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{{sin}^{ - 1} x}{x} = 1$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{{tan}^{ - 1} x}{x} = 1$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{{e}^{x} - 1}{x} = 1$

$\rm :\longmapsto\: \displaystyle \lim_{ \bf \: x \to \: 0} \sf \: \dfrac{{a}^{x} - 1}{x} = log(a)$