Question

Log 3 base 4× log 64 base243

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{log\,_43{\times}log\,_{243}64}$

$\underline{\textbf{To simplify:}}$

$\mathsf{log\,_43{\times}log\,_{243}64}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Formula used:}}$

$\boxed{\begin{minipage}{4cm} \\1.\;log\,_ab\;log\,_bc=log\,_ac\\\\2.\;log\,_ab^r=r\;log\,_ab\\\\3.\;log\,_ab=\dfrac{1}{log\,_ba} \end{minipage}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{log\,_43{\times}log\,_{243}64}$

$\textsf{This can be written as,}$

$\mathsf{=log\,_43{\times}log\,_{243}4^3}$

$\mathsf{=log\,_43{\times}3\;log\,_{243}4}\;\;\textbf{(Using (2))}$

$\mathsf{=3\;log\,_{243}4{\times}log\,_43}$

$\mathsf{=3\;log\,_{243}3}\;\;\textbf{(Using (1))}$

$\mathsf{=3\left(\dfrac{1}{log\,_3{243}}\right)}\;\;\textbf{(Using (3))}$

$\mathsf{=3\left(\dfrac{1}{log\,_3{3^5}}\right)}$

$\mathsf{=3\left(\dfrac{1}{5\;log\,_33}\right)\;\;\textbf{(Using (2))}}$

$\mathsf{=3\left(\dfrac{1}{5}\right)}$

$\mathsf{=\dfrac{3}{5}}$

$\implies\boxed{\mathsf{log\,_43{\times}log\,_{243}64}=\dfrac{3}{5}}}$