Question

M=cos theta-sin theta and n=cos theta +sin theta, then show that sqrt m/n+ sqrt n/m= 2/ sqrt ( 1- tan^2 theta

Answer 1

LHS
√(m/n) +√(n/m) = √[(cosθ-sinθ)/(cosθ +sinθ)] +√[(cosθ+sinθ)/(cosθ -sinθ)]
                         =[√(cosθ-sinθ)² +√(cosθ+sinθ)²]/(√(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ) 
                         =[(cosθ-sinθ)+(cosθ+sinθ)]/√(cos²θ-sin²θ)
                         =2cosθ/√(cos²θ-sin²θ)
                         =2√cos²θ/√(cos²θ-sin²θ)
                         =2√[cos²θ/(cos²θ-sin²θ)]
                         dividing numerator and denominator by √cos²θ
                      
                         =2/√[(cos²θ/cos²θ) - (sin²θ/cos²θ)]
                         =2/√(1-tan²θ)
                         = RHS