Question

मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय X वे लिए
$A \cap X = B \cap X = \phi$ तथा $A \cup X = B \cup X$ , तो सिद्ध कीजिए कि A = B. (संकेतः $A = A \cap ( A \cup X ) , B = B \cap ( B \cup X )$ और वितरण नियम का प्रयोग कीजिए)

Answer 1

Try to do it yourself

Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation:

प्रश्नानुसार दिया गया है कि

 A ∪ X = B ∪ X     जबकि X  कोई समुच्चय है  |

⇒  A ∩ ( A ∪ X )  =  A ∩ ( B ∪ X )

⇒                   A    =  (A ∩ B) ∪ (A ∩ X)      [ ∵ A ∩ (A ∪ X) = A ]

                            =  (A ∩ B) ∪ ∅                [ ∵ A∩X = ∅  दिया है ]

                             =  A ∩ B   ⇒   A ⊂ B                    .........(i)

पुनः   A ∪ X  = B ∪ X

⇒  B ∩ (A ∪ X)  =  B ∩ (B ∪ X)                    [∵ A ∩ (A ∪ X) = A ]

⇒  (B ∩ A) ∪ (B ∩ X)   =  B                          [∵ B ∩ X = ∅ दिया है ]

⇒      B ∩ A   = B

⇒     A ∩ B = B ⇒ B ⊂ A                         ........(ii)

समीकरण  (i) व  (ii) से

       A = B