मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a* b = a तथा b का L.C.M. द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए।
(i) 5 * 7, 20 * 16
(ii) क्या संक्रिया * क्रमविनिमेय है?
(iii) क्या * साहचर्य है?
(iv) N में * का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।
(v) N के कौन-से अवयव * संक्रिया के लिए व्युत्क्रमणीय हैं?
Answers
Given : N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a* b = a तथा b का L.C.M. द्वारा परिभाषित है।
To find : संक्रिया ∧ के लिए संक्रिया सारणी लिखिए।
Solution :
a ✱’ b = a तथा b का L.C.M द्वारा परिभाषित है
1 ✱ 1 = 1 1 ✱ 2 = 2 1 ✱ 3 = 3 1 ✱ 4 = 4 1 ✱ 5 = 5
2 ✱ 1 = 2 2✱ 2 = 2 2✱ 3 = 6 2 ✱ 4 =4 2 ✱ 5 = 10
3 ✱ 1 = 3 3 ✱ 2 = 6 3 ✱ 3 = 3 3 ✱ 4 = 12 3 ✱ 5 = 15
4✱ 1 = 4 4 ✱ 2 = 4 4 ✱ 3 = 12 4 ✱ 4 = 4 4 ✱ 5 = 20
5 ✱ 1 = 5 5 ✱ 2 = 10 5 ✱ 3 = 15 5 ✱ 4 =20 5 ✱ 5 = 5
संक्रिया सारणी
* 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 2 6 4 10
3 3 6 3 12 15
4 4 4 12 4 20
5 5 10 15 20 5
5 * 7 = 35
20 * 16 = 80 ( 20 = 2 × 2 × 5 , 16 = 2 × 2 × 2 × 2 )
संक्रिया * क्रमविनिमेय है
संक्रिया * साहचर्य है
1 के लिए व्युत्क्रमणीय हैं
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Answer:
Solution :
(a, b) ✱ (c, d) = (a + c, b + d)
Operation is interchangeable
If (a, b) ✱ (c, d) = (c, d) ✱ (a, b)
LHS = (a, b) ✱ (c, d)
(a + c, b + d)
RHS = (c , d) ✱ (a , b)
= ( c + a , d + b)
= (a + c, b + d)
LHS = RHS
=> Operation is interchangeable
Operation is associative
यदि ( (a , b) ✱ (c , d))✱ ( e , f) = (a , b) ✱ ( (c , d) ✱ ( e , f) )
LHS = ( (a , b) ✱ (c , d))✱ ( e , f)
= ( a + c , b + d) ✱ ( e , f)
= (a + c + e , b + d + f)
RHS = (a, b) ✱ ((c, d) ✱ (e, f))
= (A, b) ✱ (c + e, d + f)
= (a + c + e, b + d + f)
LHS = RHS
=> Operation is associative