Question

मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्वि-आधारी संक्रिया है:

a * b = a + b - ab ,∀ a , b ε Q.


दिखाइए की :

(i) a * b = b * a और a * ( b * c ) =
(a * b ) * c .

(ii) तत्समक अवयव तथा व्युत्क्रम अवयव ज्ञात कीजिए |

Answer 1

$\boxed{ \underline{ \bf \large{Solution - 1}}}$

हल $\bf \: a * \: b \: = a + b - ab$

और $\bf \: b * a = b + a - ba$

अतः $\bf \: a * b = b \: * \: a$

अब $\bf \: a * (b* c) = a \: * \: (b + c - bc)$

$= \bf \: a + (b + c - bc) \\ \\ \\ = \bf \: a + b + c - ab - bc - ac + abc$

पुनः $\bf \: (a *b) *c = (a + b - ab) *c$

$\bf \: = \: (a + b + c) + c - (a + b - ab) c \\ \\ \\ \bf \: = a + b + c - ab - bc - ca + abc$

अतः $\bf \: a*(b*c) = (a*b)*c$

$\boxed{ \underline{ \bf \large{Solution - 2}}}$

माना e एक तत्समक अवयव है

तब

a * a = a * e = a , ∀ a ε Q

अतः a * e = a

a + e - ae = a

e - ae = 0

e ( 1- a ) = 0

e = 0 , क्योंकि 1- a ≠ 0.

इसलिए e एक तत्समक अवयव है | अब यदि a का तत्समक b हो, तब

a * b = 0

a + b - ab = 0

a - b (a - 1) = 0

a = b (a - 1)

$b = \frac{a}{a - 1}$

जहां a ≠ 0