Question

मान लीजिए कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ हो तो दिखाइए कि सभी n ∈ Nके लिए
(aI + bA )n = an I + nan-1 bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।

Answer 1

Given :   A = $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$     n ∈ N    I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है

To find :    (aI + bA )ⁿ = aⁿ I + naⁿ⁻¹ bA,

Solution:

 (aI + bA )ⁿ = aⁿ I + naⁿ⁻¹ bA,

n = 1

LHS = aI + bA

RHS = aI +   bA,

LHS =  RHS

n = x

=>  (aI + bA )ˣ = aˣ I + xaˣ⁻¹ bA,

n = x + 1

=> LHS = (aI + bA )ˣ⁺¹  

RHS  =  aˣ⁺¹ I + (x + 1)aˣ  bA

LHS = (aI + bA )ˣ⁺¹  

=  (aI + bA )(aI + bA )ˣ

= (aI + bA )(aˣ I + xaˣ⁻¹ bA)

= aI aˣ I  + aIxaˣ⁻¹ bA   + bAaˣ I + bAxaˣ⁻¹ bA

= aˣ⁺¹(I . I)  + xbaˣIA   + baˣ AI  + b²xaˣ⁻¹ A.A

A = IA = AI    I.I = I

= aˣ⁺¹(I )  + xbaˣA   + baˣ A  + b²xaˣ⁻¹ A.A

A.A =  $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$   $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$    =  $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$  = 0

= aˣ⁺¹(I )  + xbaˣA   + baˣ A  + b²xaˣ⁻¹ (0)

= aˣ⁺¹(I )  + xbaˣA   + baˣ A

= aˣ⁺¹ I + (x + 1)aˣ  bA

=RHS

QED

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