Question

Matrix A is given by A=[6 11 2 4] then the determinant of A power 2015 - 6A power 2014
1)2 power 2016
2) (-11)2 power 2015
3)-2 power 2015 ×7
4) (-9)2 power 2014
I need an answer with more clarity and step by step .please don't mention the option blindly​

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$A=\left[\begin{array}{cc}6&11\\2&4\end{array}\right]$

$\underline{\textsf{To find:}}$

$\mathsf{|A^{2015}-6A^{2014}|}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{|A|=\left|\begin{array}{cc}6&11\\2&4\end{array}\right|}$

$\implies\mathsf{|A|=24-22=2}$

$\mathsf{A-6I=\left[\begin{array}{cc}6&11\\2&4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}6&0\\0&6\end{array}\right]}$

$\mathsf{A-6I=\left[\begin{array}{cc}0&11\\2&-2\end{array}\right]}$

$\implies\mathsf{|A-6I|=0-22=-22}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{|A^{2015}-6A^{2014}|}$

$\mathsf{|A^{2014}(A-6I)|}$

$\mathsf{=|A^{2014}|\;|A-6I|}$

$\mathsf{=|A|^{2014}\;|A-6I|}$

$\mathsf{=2^{2014}\;(-22)}$

$\mathsf{=2^{2014}\;(-11)(2)}$

$\mathsf{=2^{2015}\;(-11)}$

$\mathsf{=(-11)2^{2015}}$

$\implies\boxed{\mathsf{|A^{2015}-6A^{2014}|=(-11)2^{2015}}}$

$\underline{\textsf{Answer:}}$

$\textsf{Option (2) is correct}$