Question

McosA = nsinA prove that (msinA - ncosA)/(msinA+ncosA) + (msinA+ncosA)/(msinA-ncosA) = 2(m4+n4)/(m4-n4)

Answer 1

mcosA=nsinA
or, m=nsinA/cosA
or, m=ntanA
∴, LHS
=(msinA-ncosA)/(msinA+ncosA)+(msinA+ncosA)/(msinA-ncosA)
={(msinA-ncosA)²+(msinA+ncosA)²}/(m²sin²A-n²cos²A)
=(m²sin²A-2mnsinAcosA+n²cos²A+m²sin²A+2mnsinAcosA+n²cos²A)/
(m²sin²A-n²cos²A)
=2(m²sin²A+n²cos²A)/(m²sin²A-n²cos²A)
=2{(ntanA)²sin²A+n²cos²A}/{(ntanA)²sin²A-n²cos²A}
=2(n²tan²Asin²A+n²cos²A)/(n²tan²Asin²A-n²cos²A)
=2{n²(sin²A/cos²A)sin²A+n²cos²A}/{n²(sin²A/cos²A)sin²A-n²cos²A}
=2{(n²sin⁴A/cos²A)+n²cos²A}/{(n²sin⁴A/cos²A)-n²cos²A}
=2{(n²sin⁴A+n²cos⁴A)/cos²A}/{(n²sin⁴A-n²cos⁴A)/cos²A}
=2n²(sin⁴A+cos⁴A)/n²(sin⁴A-cos⁴A)
=2(sin⁴A+cos⁴A)/(sin⁴A-cos⁴A)
RHS
=2(m⁴+n⁴)/(m⁴-n⁴)
=2(n⁴tan⁴A+n⁴)/(n⁴tan⁴A-n⁴)
=2n⁴(tan⁴A+1)/n⁴(tan⁴A-1)
=2(sin⁴A/cos⁴A+1)/(sin⁴A/cos⁴A-1)
=2{(sin⁴A+cos⁴A)/cos⁴A}/{(sin⁴A-cos⁴A)/cos⁴A}
=2(sin⁴A+cos⁴A)/(sin⁴A-cos⁴A)
∴, LHS=RHS (Proved)