निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :
(i) px + qy = p - q
qx - pq = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) x/a - y/b = 0
ax + by = a2 + b2
(iv) (a - b)x + (a + b)y = a2 - 2ab - b2
(a + b) (x + y ) = a2 + b2
(v) 152x - 378y = -74
-378x + 152y = - 604
Answers
Answer:
(i) दिया है :
px + qy = p − q ……… (1)
qx − py = p + q ………. (2)
समीकरण (1) को p से तथा समीकरण (2) को q से गुणा करने पर,
p²x + pqy = p² − pq ………… (3)
q² x − pqy = pq + q² ………… (4)
समीकरण (3) और समीकरण (4) को जोड़ने पर,
p²x + q² x = (p² − pq) + (pq + q²)
p²x + q² x = p² + q²
x(p² + q²) = p² + q²
x = (p² + q²)/ (p² + q²)
x = 1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
px + qy = p − q
p × 1 + qy = p – q
p + qy = p – q
qy = − q
y = -q/q
y = - 1
अत:, x = 1 ; y = -1
(ii) दिया है :
ax + by = c ……….. (1)
bx + ay = 1 + c …….. (2)
समीकरण (1) को a से तथा समीकरण (2) को b से गुणा करने पर,
a² x + aby = ac ………….. (3)
b² x + aby = b + bc ……. (4)
समीकरण (3) में से समीकरण (4) को घटाने पर,
a² x + aby - (b² x + aby) = ac - (b + bc)
a² x + aby - b² x - aby = ac - b - bc
a² x - b² x = ac - b - bc
(a² − b²) x = ac − bc – b
x = (ac − bc – b)/ (a² − b²)
x = {c(a – b) – b}/ (a² − b²)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
ax + by = c
a{c(a – b) – b}/ (a² − b²) + by = c
{ac(a – b) – b}/ (a² − b²) + by = c
by = c - {ac(a – b) – ab}/ (a² − b²)
by = {c(a² − b²) - ac(a – b) + ab}/ (a² − b²)
by = {a²c − b² c – a² c + abc) + ab}/ (a² − b²)
by = {abc − b² c + ab}/ (a² − b²)
by = {bc(a – b) + ab}/ (a² − b²)
by = [b{c(a – b) + a}]/ (a² − b²)
y = {c(a – b) + a}/ (a² − b²)
अतः , x = {c(a – b) – b}/ (a² − b²) तथा y = {c(a – b) + a}/ (a² − b²)
(iii) दिया है :
x/a – y/b = 0
bx – ay = 0 ………..(1)
ax + by = a² + b² ………(2)
समीकरण (1) को b से तथा समीकरण (2) को a से गुणा करने पर,
b²x − aby = 0 ………… (3)
a²x + aby = a³ + ab² …….. (4)
समीकरण (3) और समीकरण (4) को जोड़ने पर,
b² x + a² x = a³ + ab²
x(b² + a²) = a(a² + b²)
x = a(a² + b²)/ (b² + a²)
x = a
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
bx – ay = 0
b (a) − ay = 0
ab − ay = 0
ay = ab
y = b
अतः, x = a और y = b
(iv) दिया है :
(a − b)x + (a + b)y = a² − 2ab − b² ……….. (1)
(a + b) (x + y) = a² + b²
(a + b)x + (a + b)y = a² + b² ……….. (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(a − b)x − (a + b)x = (a² − 2ab − b²) − (a² + b²)
(a − b − a − b) x = − 2ab − 2b²
-2bx = − 2b (a + b)
x = a + b
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(a − b)x + (a + b)y = a² − 2ab − b²
(a − b) (a + b) + (a + b)y = a² − 2ab − b²
a² − b² + (a + b) y = a² − 2ab − b²
(a + b) y = − 2ab
y = -2ab/(a + b)
अतः, x = a + b और y = a² − 2ab − b²
(v) दिया है :
152x − 378y = − 74 …….… (1)
− 378x + 152y = − 604………. (2)
समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ने पर,
-226x - 226y = - 678
-226(x + y) = - 678
x + y = - 678/-226
x + y = 3 ……….(3)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
530x - 530y = 530
530(x - y) = 530
x - y = 530/530
x - y = 1……….(4)
समीकरण (3) और समीकरण (4) को जोड़ने पर,
x + x + y - y = 3 + 1
2x = 4
x = 4/2
x = 2
x का मान समीकरण (3) में रखने पर,
x + y = 3
2 + y = 3
y = 3 - 2
y = 1
अतः, x = 2 और y = 1
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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