निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :
(i) 1/2x +1/3y = 2
1/3x + 1/2y = 13/6
(ii) 2/x +3/y = 2
4/x - 9 /y = -1
(iii) 4/x + 3y = 14
3/x - 4y =3
(iv) 5/x -1 + 1/y - 2 = 2
6/x - 1 - 3/y - 2 = 1
(v) 7x - 2y/ xy = 5
8x + 2y/ xy = 15
(iv) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
(vii) 10/x +y, + 2 /x - y,= -2
(viii) 1/3x+y,+ 1/3x - y = 3/4
1/2(3x + y) - 2(3x - y) = -1/8
Answers
Answer:
(i) दिया है :
1/2x + 1/3y = 2
1/3x + 1/2y = 13/6
माना 1/x = p और 1/y = q
p/2 + q/3 = 2
3p + 2q -12 = 0 ……………... (1)
p/3 + q/2 = 13/6
2p + 3q -13 = 0 ………….... (2)
बज्र गुणन विधि द्वारा हल :
a1 = 3 ,b1 = 2 , c1 = - 12
a2 = 2 , b2 = 3 , c2 = - 13
x/(b1 c2 – b2 c1) = y/(c1 a2 – c2 a1) = 1/(a1 b2 – a2 b1)
p/2(- 13) - 3(- 12) = q/{- 12 × 2 – (- 13 × 3)} = 1/{3 × 3 – 2 × 2)}
p/(- 26 + 36) = q/(-24 +39) = 1/ (9 - 4)
p/10 = q/15 = 1/5
p/10 = ⅕ और q/15 = 1/5
p = 2 और q = 3
1/x = 2 और 1/y = 3
अत:, x = ½ और y = 1/3
(ii) दिया है :
2/√x +3/√y = 2
4/√x - 9/√y = -1
माना 1/√x = p और 1/√y = q
2p + 3q = 2 ………………….... (1)
4p - 9q = -1 ………………….. (2)
समी (1) को 3 से गुणा करने पर ,
6p + 9q = 6 ………………….. (3)
समी (2) और (3) को जोड़ने पर,
4p - 9q + 6p + 9q = - 1 + 6
10p = 5
p = 5/10
p = 1/2
p का मान समी (1) में रखने पर,
2p + 3q = 2
2 × 1/2 + 3q = 2
1 + 3q = 2
3q = 2 - 1
3q = 1
q = 1/3
अब, p = 1/√x = 1/2
√x = 2
x = 4
तथा
q = 1/√y = 1/3
√y = 3
y = 9
अतः, x = 4, y = 9
(iii) दिया है :
4/x + 3y = 14
3/x - 4y = 23
माना 1/x = p
4p + 3y = 14
4p + 3y - 14 = 0 ………..(1)
3p - 4y = 23
3p - 4y - 23 = 0……….(2)
बज्र गुणन विधि द्वारा हल :
a1 = 4 ,b1 = 3 , c1 = - 14
a2 = 3 , b2 = 3 , c2 = - 23
x/(b1 c2 – b2 c1) = y/(c1 a2 – c2 a1) = 1/(a1 b2 – a2 b1)
p/3(-23) - 3 × - 14) = y/{- 14 × 3 – (- 23 × 4)} = 1/{4 × 3 – 3 × 3)}
p/(- 69 - 56) = y/(- 42 - (- 92) = 1/(-16 - 9)
-p/125 = y/50 = -1/25
अब,
-p/125 = -1/25 और y/50 = -1/25
p = 5 और y = -2
p = 1/x = 5
x = ⅕
अतः, x = 1/5 और y = -2
(iv) दिया है :
5/x-1 + 1/y-2 = 2
6/x-1 - 3/y-2 = 1
माना 1/(x - 1) = p और 1/(y - 2) = q
5p + q = 2 …………….... (1)
6p - 3q = 1 …………….... (2)
समी (1) को 3 से गुणा करने पर ,
15p + 3q = 6 ………………... (3)
समी (2) और (3) को जोड़ने पर,
6p - 3q + 15p + 3q = 1 + 6
21p = 7
p = 1/3
p का मान समी (2) में रखने पर,
6p - 3q = 1
6×1/3 - 3q =1
2-3q = 1
-3q = 1-2
-3q = -1
q = 1/3
अब,
p = 1/x-1 = 1/3
1/x-1 = 1/3
3 = x - 1
x = 4
तथा
q = 1/y-2 = 1/3
1/y-2 = 1/3
3 = y-2
y = 5
अत:, x = 4 और y = 5
(v) दिया है :
7x-2y/xy = 5
7x/xy - 2y/xy = 5
7/y - 2/x = 5 ………………. (1)
8x+7y/xy = 15
8x/xy + 7y/xy = 15
8/y + 7/x = 15 …………….... (2)
माना 1/x = p और 1/y = q
7q - 2p = 5 ……………... (3)
8q + 7p = 15 …………….. (4)
समी (3) को 7 से और समी (4) को 2 गुणा करने पर ,
49q - 14p = 35 …………..... (5)
16q + 14p = 30 ………….... (6)
समी (5) और (6) को जोड़ने पर,
49q - 14p + 16q + 14p = 35 + 30
65q = 65
q = 1
q का मान समी (4) में रखने पर,
8q + 7p = 15
8 + 7p = 15
7p = 7
p = 1
अब,
p = 1/x = 1
1/x = 1
x = 1
तथा q = 1 = 1/y
1/y = 1
y = 1
अत:, x =1 और y = 1
(vi) दिया है :
6x + 3y = 6xy
6x/xy + 3y/xy = 6
6/y + 3/x = 6 ………….... (i)
2x + 4y = 5xy
2x/xy + 4y/xy = 5
2/y + 4/x = 5 …………….... (ii)
माना, 1/x = p और 1/y = q
6q + 3p - 6 = 0
2q + 4p - 5 = 0
बज्र गुणन विधि द्वारा हल :
a1 = 6 ,b1 = 3 , c1 = - 6
a2 = 2 , b2 = 4 , c2 = - 5
x/(b1 c2 – b2 c1) = y/(c1 a2 – c2 a1) = 1/(a1 b2 – a2 b1)
q/(3(- 5) - 4 × - 6) = p/{- 6 × 2 – (- 5 × 6)} = 1/{6 × 4 – 2 × 3)}
q/(-15 + 24) = p/(-12 +30 ) = 1/(24 - 6)
q/9 = p/18 = 1/18
q/9 = 1/18 और p/18 = 1/18
q = ½ और p = 1
q = 1/y = ½ और p = 1/x= 1
y = 2, x = 2
अतः, , x = 1 और y = 2
(vii) दिया है :
10/x+y + 2/x-y = 4
15/x+y - 5/x-y = -2
माना , 1/(x + y) = p और 1/(x - y) = q
10p + 2q = 4
10p + 2q - 4 = 0 ……….... (1)
15p - 5q = -2
15p - 5q + 2 = 0 ……….. (2)
बज्र गुणन विधि द्वारा हल :
a1 = 10 ,b1 = 2 , c1 = - 4
a2 = 15 , b2 = -5 , c2 = 2
x/(b1 c2 – b2 c1) = y/(c1 a2 – c2 a1) = 1/(a1 b2 – a2 b1)
p/2(2) - 5 × - 4) = q/{- 4 × 15 – (2 × 10)} = 1/{10 × - 5 – 15 × 2)}
p/(4 - 20) = q/(- 60- 20) = 1/(-50 - 30)
p/-16 = q/-80 = 1/-80
p/-16 = 1/-80 और q/-80 = 1/-80
p = ⅕ और q = 1
p = 1/(x + y ) = ⅕ और q = 1/(x - y )= 1
x + y = 5 ……...… (3)
और x - y = 1 ……….. (4)
समी (3) और (4) को जोड़ने पर,
x + y + x - y = 5 + 1
2x = 6
x = 3
x का मान समी (3) में रखने पर,
x + y = 5
3 + y = 5
y = 5 - 3
y = 2
अतः, x = 3 और y = 2
(viii) दिया है :
1/3x+y + 1/3x-y = 3/4
1/2(3x-y) - 1/2(3x-y) = -1/8
माना, 1/(3x+y) = p और 1/(3x -y ) = q
p + q = 3/4 ... ………..(1)
p/2 - q/2 = -1/8
p - q = -1/4 ………….. (2)
समी (1) और (2) को जोड़ने पर,
p + q + p - q = ¾ - ¼
2p = 3/4 - 1/4
2p = 1/2
p = ¼
p का मान समी (2) में रखने पर,
p - q = -¼
1/4 - q = -1/4
q = 1/4 + 1/4
q = 1/2
अब,
p = 1/(3x + y ) = 1/4
3x + y = 4 ………..... (3)
तथा q = 1/3x-y = 1/2
3x - y = 2 ………... (4)
समी (3) और (4) को जोड़ने पर,
3x + y + 3x - y = 4 + 2
6x = 6
x = 1
x का मान समी (3) में रखने पर,
3x + y = 4
3(1) + y = 4
3 + y = 4
y = 4 - 3
y = 1
अतः, x = 1 और y = 1
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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