निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ?
(i) x + y = 5 और 2x - 3y = 4 (ii) 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2
(iii) 3x - 5y - 4 = 0 और 9x = 2y + 7 (iv) x/2 2y/3 = 1 और x y/3 = 3
Answers
Answer:
(i) दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म :
x + y = 5 ………….... (1)
2x – 3y = 4 ………….. (2)
विलोपन विधि से हल
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 10 ……….. (3)
2x – 3y = 4 ……..... (2)
समीकरण (3) से समीकरण (2) को घटाने पर ,
2x + 2y - ( 2x – 3y) = 10 - 4
2x + 2y - 2x + 3y = 6
2y + 3y = 6
5y = 6
y = 6/5
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x + y = 5
x + 6/5 = 5
x = 5 – (6/5)
x = (25 - 6)/5
x = 19/5
अत:, x = 19/5 and y = 6/5
प्रतिस्थापन विधि से हल :
समीकरण (i) से
x + y = 5
x = 5 – y ... ……..(4)
अब x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
2x – 3y = 4
2(5 – y) – 3y = 4
10 - 2y - 3y = 4
-5y = 4 - 10
–5y = – 6
y = – 6/–5
y = 6/5
अब y का मान समीकरण (4) में रखने पर,
x = 5 – y
x = 5 – 6/5
x = (25 - 6)/5
x = 19/5
अत:, x = 19/5 and y = 6/5
(ii) दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म :
3x + 4y = 10 ………..... (1)
2x – 2y = 2 ………….. (2)
विलोपन विधि से हल
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर,
4x – 4y = 4 ……………... (3)
3x + 4y = 10 ………………. (1)
समीकरण (1) तथा समीकरण (3) को जोड़ने पर,
4x – 4y + 3x + 4y = 4 + 10
4x + 3x = 14
7x = 14
x = 14/7
x = 2
अब x का मान समीकरण (1) में रखने पर
3x + 4y = 10
3(2) + 4y = 10
6 + 4y = 10
4y = 10 – 6
4y = 4
y = 4/4
y = 1
अत:, x = 2, y = 1
प्रतिस्थापन विधि से हल
समीकरण (1) से
3x + 4y = 10
4y = 10 – 3x
y = (10 – 3x )/4………….(4)
y का मान समीकरण (1) में रखने पर
2x – 2y = 2
2x – 2(10 – 3x )/4) = 2
8x – 2(10 – 3x) = 8
8x – 20 + 6x = 8
14x = 28
x = 28/14
x = 2
अब x का मान समीकरण (4) में रखने पर
y = (10 – 3x)/4
y = (10 - 3 × 2)/4
y = (10 - 6)/4
y = 4/4
y = 1
अत:, x = 2, y = 1
(iii) दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म :
3x – 5y – 4 = 0
3x – 5y = 4 …………..(1)
9x = 2y + 7
9x – 2y = 7 ………….... (2)
विलोपन विधि से हल
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर,
9 x – 15 y = 12 …………... (3)
9x – 2y = 7 ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाने पर ,
9 x – 15 y - (9x – 2y) = 12 - 7
9 x – 15 y - 9x + 2y = 12 - 7
- 15 y + 2y = 12 - 7
-13y = 5
y = - 5/13
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर
3x – 5y = 4
3x - 5(- 5/13) = 4
3x + 25/13 = 4
39x + 25 = 52
39x = 27
x =27/39
x = 9/13
अत:, x = 9/13 ; y = – 5/13
प्रतिस्थापना विधि से हल
समीकरण (i) से ,
3x – 5y = 4
3x = 4 + 5y
x = (4 + 5y )/3 ... …….….(4)
अब x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
9x – 2y = 7
9 ((4 + 5y )/3) – 2y = 7
3(4 + 5y ) – 2y = 7
12 + 15y – 2y = 7
13y = - 5
y = - 5/13
y का मान समीकरण (4) में रखने पर
x = (4 + 5y )/3
x = {4 + 5 × (-5/13)}/3
x = (4 - 25/13)/3
x = {(52 - 25)/13}/3
x = 27/(13 × 3)
x = 9/13
अतः, x = 9/13 ; y = -5/13
(iv) दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म :
x/2 + 2y/3 = – 1 ………….... (1)
x – y/3 = 3 …………….. (2)
विलोपन विधि से हल
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
x + 4y/3 = – 2 …………….. (3)
x – y/3 = 3 …………….. (2)
समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाने पर ,
x – y/3 - (x + 4y/3 ) = 3 - (-2)
x – y/3 - x - 4y/3 = 3 + 2
– y/3 - 4y/3 = 3 + 2
-5y/3 = 5
y = – 15/5
y = – 3
अब y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x – y/3 = 3
x - (-3)/3 = 3
x + 1 = 3
x = 3 - 1
x = 2
अत:, x = 2 ; y = – 3
प्रतिस्थापना विधि से हल
समीकरण (ii) से ,
x – y/3 = 3
x = 3 + y/3 ……….... (4)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर
x/2 + 2y/3 = – 1
(3 + y/3)/2 + 2y/3 = – 1
3/2 + y/6 + 2y/3 = – 1
(9 + y + 4y)/6 = -1
(9 + y + 4y) = -1 × 6
5y = - 6 - 9
5y = - 15
y = -15/5
y = – 3
अतः,x = 2 ; y = – 3
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हें ज्ञात कीजिए |
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है | उन्हें ज्ञात कीजिए |
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रू. में खरीदी | बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रू. में खरीदी | प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए|
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दुरी पर भाडा सम्मिलित किया जाता है | 10 km दुरी के लिए 105 रू है तथा 15 km के लिए भाडा 155 रू है | नियत भाडा तथा प्रति km भाडा जय है एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाडा देना होगा ?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है | यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, वह 5/6 हो जाती है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी | पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की सात गुनी थी | उनकी वर्तमान आयु क्या है ?
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Answer:
-x+[5y-{x-(5y-2x)}]