निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल ( यदि उनका अस्तित्व हो विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दे तथा हर में से 1 घटा दे, तो भिन्न 1 में बदल जाती है| यदि हर में 1 जोड़ दे , तो यह 1/2 हो जाती वह भिन्न क्या है ?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी | दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी नूरी और सोनू की आयु में कितनी है |
(iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है | इस संख्या का 9 गुना , संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है | वह संख्या ज्ञात कीजिए |
(iv) मीना 2000 रू निकालने के लिए एक बैंक गई| उसने खजाँची से 50 रू तथा 100 रू के नोट देने के लिए कहा | मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए | ज्ञात कीजिए की उसने 50 रू और 100 रू के कितने -कितने नोट प्राप्त किए |
(v) किराए पर पुस्तके देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है| सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रू अदा किए, जबकि सुसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रुपए अदा किए | नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए |
Answers
Answer:
(i) मान लिया कि भिन्न x/y
प्रश्न अनुसार,
(x + 1)/(y – 1) = 1
(x + 1) = (y – 1)
x - y = - 1 - 1
x – y = – 2 ……………….. (1)
x/(y + 1) = ½
2x – y = 1 …………….... (2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) में से घटाने पर,
x – y - (2x – y) = - 2 -1
x – y - 2x + y = - 2 -1
-x = - 3
x = 3……………..... (3)
अब x का मान समीकरण (1) में रखने पर ,
x – y = – 2
3 – y = – 2
-y = - 2 -3
–y = – 5
y = 5
अत: दिया गया भिन्न 3/5
(ii) मान लीजिए कि नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
पाँच वर्ष पहले नूरी की आयु = (x – 5)वर्ष
तथा पाँच वर्ष पहले सोनू की आयु = (y – 5)वर्ष
प्रश्न अनुसार,
(x – 5) = 3(y – 5)
x - 5 = 3y - 15
x - 3y = – 10 ……………...... (1)
अब से दस वर्ष बाद नूरी की आयु = (x + 10)
अब से दस वर्ष बाद सोनू की आयु = (y + 10)
प्रश्न अनुसार,
(x + 10) = 2(y + 10)
x + 10 = 2y + 20
x – 2y = 20 - 10
x – 2y = 10 ………………………. (2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) में से घटाने पर,
x - 3y - (x – 2y) = - 10 - 10
x - 3y - x + 2y = - 10 - 10
-y = - 20
y = 20 ………………... (3)
अब y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x - 3y = – 10
x - 3(20) = – 10
x – 60 = – 10
x = - 10 + 60
x = 50
अत: नूरी की वर्तमान आयु 50 वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु 20 वर्ष
(iii) मान लीजिए कि संख्या का ईकाइ अंक x तथा संख्या का दहाई अंक y
अत: संख्या = 10y + x
प्रश्न अनुसार,
x + y = 9 ………….... (1)
संख्या को पलटने पर प्राप्त संख्या = 10x + y
प्रश्न अनुसार,
9(10y + x) = 2(10x + y)
90y + 9x = 20x + 2y
90y - 2y - 20x + 9x = 0
88y – 11x = 0
-11x + 88y = 0
11(- x + 8y) = 0
–x + 8y =0 ……………... (2)
समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर,
x + y + (–x + 8y ) = 9 + 0
y + 8y = 9
9y = 9
y = 9/9
y = 1
अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + y = 9
x + 1 = 9
x = 9 - 1
x = 8
अत: दी गई संख्या = 10y + x = 10 × 1 + 8
अत: , अभीष्ट संख्या 18 है।
(iv) मान लिया कि ₹ 50 के नोटों की संख्या x तथा मान लिया कि ₹ 100 के नोटों की संख्या y
प्रश्न अनुसार,
x + y = 25 ………………... (1)
तथा 50x + 100y = 2000
50(x +2 y) = 2000
x + 2y = 2000 /50
x + 2y = 40…………….... (2)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर,
x + 2y - ( x + y) = 40 - 25
x + 2y - x - y = 40 - 25
y = 15
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर ,
x + y = 25
x + 15 = 25
x = 25 - 15
x = 10
अत: ₹ 50 के नोटों की संख्या 10 तथा ₹ 100 के नोटों की संख्या 15 है
(v) मान लिया कि पहले तीन दिनों के लिये पुस्तकालय का नियत भाड़ा x तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए किराया y
प्रश्न अनुसार,
x + 4y = 27 …………... (1)
x + 2y = 21 …………... (2)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,
x + 4y - (x + 2y) = 27 - 21
x + 4y - x - 2y = 27 - 21
4y - 2y = 6
2y = 6
y = 6/2
y = 3
y का मान समीकरण (2) में रखने पर
x + 2y = 21
x + 2(3) = 21
x + 12 = 27
x = 27 - 12
x = 15
अत: प्रथम तीन दिनों के लिए नियत भाड़ा ₹ 15 तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए किराया ₹ 3 है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ?
(i) x + y = 5 और 2x - 3y = 4 (ii) 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2
(iii) 3x - 5y - 4 = 0 और 9x = 2y + 7 (iv) x/2 2y/3 1 और x y/3 3
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निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हें ज्ञात कीजिए |
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है | उन्हें ज्ञात कीजिए |
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रू. में खरीदी | बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रू. में खरीदी | प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए|
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दुरी पर भाडा सम्मिलित किया जाता है | 10 km दुरी के लिए 105 रू है तथा 15 km के लिए भाडा 155 रू है | नियत भाडा तथा प्रति km भाडा जय है एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाडा देना होगा ?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है | यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, वह 5/6 हो जाती है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी | पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की सात गुनी थी | उनकी वर्तमान आयु क्या है ?
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