निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए |
(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अन्क अर्जित करता | टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए |
(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है | आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए |
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Answer:
(i) मान लिया कि छात्रावास का नियत व्यय x तथा छात्रावास में प्रतिदिन भोजन का व्यय y
प्रश्न के अनुसार
स्थिति: 1:
x + 20y = 1000 ………………... (1)
स्थिति: 2:
x + 26y = 1180 ………………... (2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर,
x + 26y - (x + 20y) = 1180 - 1000
x + 26y - x - 20y = 1180 - 1000
26y - 20y = 1180 - 1000
6y = 180
y = 180/6
y = 30
y का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x + 20y = 1000
x + 20 × 30 = 1000
x + 600 = 1000
x = 1000 – 600
x = 400
अत: छात्रावास के व्यय का नियत भाग रू 400 तथा प्रतिदिन भोजन करने का व्ययरू 30
(ii) मान लिया गया कि वांछित भिन्न x/y
प्रश्न अनुसार,
(x – 1)/y = 1/3
3(x - 1) = y
3x – y = 3…………... (1)
x/(y + 8) = 1/4
4x = y + 8
4x – y = 8 ……………..... (2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर,
4x – y - ( 3x – y ) = 8 - 3
4x – y - 3x + y = 5
4x - 3x = 5
x = 5
x का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
3x – y = 3
3(5) - y = 3
15 – y = 3
-y = 3 - 15
-y = - 12
y = 12
अत: वांछित भिन्न 5/12
(iii) मान लिया कि सही उत्तर की संख्या x तथा मान लिया कि गलत उत्तरों की संख्या y
प्रश्न अनुसार,
3x – y = 40 ………….... (1)
4x – 2y = 50
2(2x - y) = 50
2x – y = 50/2
2x – y = 25 ………….. (2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर,
2x – y - (3x – y ) = 25 - 40
2x – y - 3x + y = - 15
2x - 3x = - 15
x = 15
x का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
2x – y = 25
2(15) - y = 25
30 – y = 25
-y = 25 - 30
-y = - 5
y = 5
अत: सही उत्तरों की संख्या 15 तथा गलत उत्तरों की संख्या 5
अत: टेस्ट में प्रश्नों की कुल संख्या = 15+5 = 20
(iv)दिया है : दूरी = 100 km
मान लिया कार A की गति u km/h तथा कार B की गति v km/h.
जब दोनों कार एक ही दिशा में चलती हैं तो उनकी सापेक्ष गति = (u – v) km/h
तथा जब कार एक दूसरे के विपरीत दिशा में चलती हैं, तो कारों की सापेक्ष गति = (u + v) km/h
जब कार एक ही दिशा में चलती है, तो लगने वाला समय = 5 घंटा
तथा जब कार विपरीत दिशा में चलती हैं, तो लगने वाला समय = 1 घंटा
अत: जब कार एक ही दिशा में चलती हैं
प्रश्न अनुसार
5(u – v) = 100
[समय × गति = दूरी]
u – v = 20 …………….... (1)
तथा जब कार विपरीत दिशा में चलती हैं,
1(u + v) = 100 …………... (2)
समीकरण (1) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर,
u – v + u + v = 20 + 100
2u = 120
u = 60 km/h
u का मान समीकरण (i) में रखने पर ,
u – v = 20
60 - v = 20
v = 40 km/h
अत: , कार A की गति 60 km/h तथा कार B की गति 40 km/h.
(v) मान लिया कि आयत की लम्बाई x तथा आयत की चौड़ाई y
आयत का क्षेत्रफल = xy
प्रश्न अनुसार,
(x – 5) (y + 3) = xy – 9
xy + 3x – 5y – 15 = xy - 9
3x – 5y – 6 = 0 ……………... (1)
(x + 3) (y + 2) = xy + 67
xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
2x – 3y – 61 = 0 …………….. (2)
बज्र गुणन विधि द्वारा हल :
a1 = 3 ,b1 = - 5 , c1 = - 6
a2 = 2 , b2 = - 3 , c2 = - 61
x/(b1 c2 – b2 c1) = y/(c1 a2 – c2 a1) = 1/(a1 b2 – a2 b1)
x/-5(-61) - 3(-6) = y/{–6 × 2 – (– 61 × 3)} = 1/{3 × - 3 – 2 × - 5)}
x/(305 + 18) = y/(–12 + 183) = 1/(9 + 10)
x/323 = y/171 = 1/19
x/323 = 1/19 और y/171 = 1/19
x = 323/19 और y = 171/19
x = 17, y = 9
अत: आयत की लम्बाई 17 इकाई तथा चौड़ाई 9 इकाई
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
इस पाठ (दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म ) के सभी प्रश्न उत्तर
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इस पाठ से संबंधित कुछ और प्रश्न :
(i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a - b)x + ( a + b)y = 3a + b - 2
(ii) kके किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
( 2k - 1)x + (k - 1)y = 2k + 1
https://brainly.in/question/12657695
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज - गुणन विधियों से हल कीजिए |
किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
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