निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हें ज्ञात कीजिए |
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है | उन्हें ज्ञात कीजिए |
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रू. में खरीदी | बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रू. में खरीदी | प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए|
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दुरी पर भाडा सम्मिलित किया जाता है | 10 km दुरी के लिए 105 रू है तथा 15 km के लिए भाडा 155 रू है | नियत भाडा तथा प्रति km भाडा जय है एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाडा देना होगा ?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है | यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, वह 5/6 हो जाती है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी | पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की सात गुनी थी | उनकी वर्तमान आयु क्या है ?
Answers
Answer:
(i) मान लीजिए कि दी गई बड़ी संख्या = x
तथा छोटी संख्या = y
प्रश्न अनुसार ,
x – y = 26
x = 26 + y…………..(1)
तथा x = 3y………………….(2)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर ,
3y = 26 + y
3y - y = 26
2y = 2 6
y = 26/2
y = 13
y का मान समी (2) में रखने पर ,
x = 3 × 13 = 39
अत:, दो संख्याएं 13 तथा 39 है ।
(ii) मान लीजिए कि दो संपूरक कोण x तथा y हैं।
और x > y
दो संपूरक कोणों का योग 180° होता है।
x + y = 180
x = 180 – y ... …………….(1)
और , x – y = 18……………(2)
x का मान समीकरण (2) में रखने पर
180 – y – y = 18
-2y = 18 - 180
- 2y = - 162
y = - 162/-2
y = 81
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर
x = 180 – 81
x = 99
अत: संपूरक कोण 99° तथा 81° है।
(iii) मान लीजिए कि एक बल्ले का मूल्य = ₹ x
तथा एक गेंद का मूल्य = ₹ y
प्रश्न अनुसार,
7x + 6y = 3800
6y = 3800 – 7x
y = (3800 – 7x)/6 ……….. (1)
तथा 3x + 5y = 1750………..(2)
अब y का मान समीकरण (2) में रखने पर
3x + 5 ((3800 – 7x)/6) = 1750
18x + 19000 – 35x = 10500
–17x = 10500 – 19000
–17x = - 8500
x = 8500/17
x = 500
अब x का मान समीकरण (1) में रखने पर
y = (3800 – 7 × 500)/6
y = 300/6
y = 50
अत: एक बल्ले का मूल्य ₹ 500 तथा एक गेंद का मूल्य ₹ 50 है।
(iv) मान लिया कि टैक्सी का निश्चित भाड़ा = ₹ x
तथा प्रति km भाड़ा = ₹ y
प्रश्न अनुसार
10 km दूरी के लिए भाड़ा = ₹105
x + 10y = 105
x = 105 – 10y ………….. (1)
तथा, 15 km दूरी के लिए भाड़ा = ₹ 155
x + 15y = 155……………….(2)
अब x का मान समीकरण (2) में रखने पर
105 – 10y + 15y = 155
5y = 155 – 105
5y = 50
y = 50/5
y = 10
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर
x = 105 – 10 × 10
x = 105 - 100
x = 5
अत: , निश्चित भाड़ा = ₹ 5 तथा प्रति किलोमीटर भाड़ा = ₹ 10 है।
25 km यात्रा करने के लिए किराया = नियत भाड़ा + प्रति किलोमीटर भाड़ा × 25
25 km यात्रा करने के लिए भाड़ा = x + 25y
= 5 + 25 × 10
= 5 + 250
= 255
अतः, 25 km यात्रा के लिए भाड़ा ₹ 255 है।
(v) मान लीजिए कि हर = x
तथा अंश = y
अतः, अभीष्ट भिन्न = x/y
प्रश्न अनुसार,
(x + 2)/(y + 2) = 9/11
बज्र गुणन करने पर,
11(x +2) = 9(y+2)
11x + 22 = 9y + 18
11x = 9y + 18 - 22
11x = 9y – 4
x = (9y – 4)/11 … ……………..(1)
प्रश्न अनुसार,
(x + 3)/(y + 3) = 5/6
बज्र गुणन करने पर
6(x+3) = 5(y+3)
6x + 18 = 5y + 15……………. (2)
अब x का मान समीकरण (2) में रखने पर
6(9y – 4 )/11 + 18 = 5y + 15
6(9y – 4 )/11 = 5y + 15 -18
6(9y – 4 )/11 = 5y – 3
54 – 24 = 55y – 33
–y = – 9
y = 9
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर
x = (9y – 4)/11
x = (81 – 4)/77
x = 77/11
x = 7
अत: भिन्न 7/9.
(vi) मान लिया कि जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष
आज से पाँच वर्ष बाद :
जैकब की आयु पाँच वर्ष बाद = (x + 5) वर्ष
जैकब के पुत्र की आयु पाँच वर्ष बाद = (y + 5 )वर्ष
प्रश्न अनुसार,
x + 5 = 3(y + 5)
x + 5 = 3y + 15
x = 3y + 15 – 5
x = 3y + 10…………………...(1)
पाँच वर्ष पहले :
जैकब की आयु पाँच वर्ष पहले = (x – 5) वर्ष
जैकब के पुत्र की आयु पाँच वर्ष पहले = (y – 5) वर्ष
प्रश्न अनुसार,
x – 5 = 7(y – 5) …………..(2)
x का मान समीकरण (2) में रखने पर हम पाते हैं कि
3y + 10 – 5 = 7y – 35
3y + 5 = 7y – 35
3y – 7y = – 35 – 5
-4y = – 40
y = – 40/–4
y = 10 वर्ष
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर
x = 3 × 10 + 10
x = 30 + 10
x = 40 वर्ष
अत: जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष तथा जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x + y 14 (ii) s - t = 3
x - y = 4 s/3 + t/2 - 6
(iii) 3x - y = 3 (iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
9x - 3y = 9 0.4x + 0.5y = 2.3
(v) √2x + √3y - 0 (vi) 3x/2 - 5y/3 - -2
√3x - √8y - 0 x/3 +y/2 - 13/6
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