Question

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए: $\cot 4x\,(\sin 5x + \sin 3x) = \cot x\,(\sin 5x - \sin 3x)$

Answer 1

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए: $\cot 4x\,(\sin 5x + \sin 3x) = \cot x\,(\sin 5x - \sin 3x)$

जैसा कि हम जानते हैं;

$sin \: A -sin \: B = 2cos\bigg( \frac{A+B}{2} \bigg) sin\bigg( \frac{A-B}{2}\bigg) \\ \\ sin \: A+ sin \: B = 2sin\bigg( \frac{A+B}{2} \bigg) cos\bigg( \frac{A-B}{2}\bigg)$

LHS लेने पर

$= > \cot 4x\,(\sin 5x + \sin 3x) \\ \\ = > cot \: 4x\bigg[2sin\bigg( \frac{5x + 3x}{2} \bigg) cos\bigg( \frac{5x - 3x}{2}\bigg)\bigg]\\ \\ = > 2cot \: 4x \: sin \: 4x \: cos \: x \\ \\ = > 2 \times \frac{cos \: 4x}{sin \: 4x} sin \: 4x \: cos \: x \\ \\ = > 2cos \: 4x \: cos \: x....eq1$
RHS लेने पर

$\cot x\,(\sin 5x - \sin 3x) \\ \\ = cot \: x\bigg[2 \: cos\bigg( \frac{5x + 3x}{2}\bigg)sin\bigg( \frac{5x - 3x}{2} \bigg)\bigg] \\ \\ = > 2 \: cot \: x \: cos \: 4x \: sin \: x \\ \\ = > 2 \times \frac{cos \: x}{sin \: x} \times cos \: 4x \times sin \: x \\ \\ = > 2 \: cos \: 4x \: cos \: x .....eq2$
समीकरण 1 व 2 से,

LHS=RHS

Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation:

$\cot 4x\,(\sin 5x + \sin 3x) = \cot x\,(\sin 5x - \sin 3x)$

∵$sin \: A -sin \: B = 2cos\bigg( \frac{A+B}{2} \bigg) sin\bigg( \frac{A-B}{2}\bigg) \\ \\ sin \: A+ sin \: B = 2sin\bigg( \frac{A+B}{2} \bigg) cos\bigg( \frac{A-B}{2}\bigg)$

L.H.S. =

= $\cot 4x\,(\sin 5x + \sin 3x) \\ \\ = cot \: 4x\bigg[2sin\bigg( \frac{5x + 3x}{2} \bigg) cos\bigg( \frac{5x - 3x}{2}\bigg)\bigg]\\ \\ = 2cot \: 4x \: sin \: 4x \: cos \: x \\ \\ = 2 \times \frac{cos \: 4x}{sin \: 4x} sin \: 4x \: cos \: x \\ \\ = 2cos \: 4x \: cos \: x$     ...समीकरण (i)

R.H.S.

$\cot x\,(\sin 5x - \sin 3x) \\ \\ = cot \: x\bigg[2 \: cos\bigg( \frac{5x + 3x}{2}\bigg)sin\bigg( \frac{5x - 3x}{2} \bigg)\bigg] \\ \\ = 2 \: cot \: x \: cos \: 4x \: sin \: x \\ \\ = 2 \times \frac{cos \: x}{sin \: x} \times cos \: 4x \times sin \: x \\ \\ = 2 \: cos \: 4x \: cos \: x$   .........समीकरण (ii)

समीकरण (i) व (ii) से,

L.H.S.  =  R.H.S.