Question

निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए:
(i)$(0, 7, -10)$, $(1, 6, - 6)$ और $(4, 9, - 6)$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(ii) $(0, 7, 10)$, $(-1, 6, 6)$ और $(- 4, 9, 6)$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(iii) $(-1, 2, 1)$, $(1, -2, 5)$, ($4, -7, 8)$ और $(2, -3, 4)$ एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

(i) बिंदुओ (0, 7, -10) (1, 6, -6) और (4, 9, -6) को  क्रमशः A, B और C के रूप में निरूपित करें |

$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (6-7)^2 + (-6+10)^2}  = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2} = \sqrt{(1 + 1 + 16)} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (9-6)^2 + (-6+ 6)^2} =  \sqrt{(3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(0-4)^2 + (7-9)^2 + (-10+6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+4+16} = \sqrt{36} = 6$

यहाँ, AB = BC ≠ CA

इस प्रकार, दिए गए बिंदु समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(ii) बिंदुओ (0, 7, 10) (-1, 6, 6) और (-4, 9, 6) को  क्रमशः A, B और C के रूप में निरूपित करें |  

$AB  = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{(1+1+16)} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(-4+1)^2 + (9-6)^2 + (6 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(0+4)^2 + (7-9)^2 + (10-6)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{16+4+16} = \sqrt{36} = 6$

अब,  AB^2 + BC^2 =$( 3 \sqrt{2} )^2 + ( 3 \sqrt{2} )^2$ = 18 + 18 = 36 = AC^2

इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, ABC एक समकोण त्रिभुज है।

इस प्रकार, दिए गए बिंदु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(iii) बिंदुओ (-1, 2, 1) (1, -2, 5), (4, -7, 8) और (2, -3, 4) को  क्रमशः A, B, C और D के रूप में निरूपित करें |  

$AB = \sqrt{(1+1)^2 + (-2-2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2 + (4)^2} = \sqrt{(4 + 16 + 16)} = \sqrt{36} = 6$

$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (-7+2)^2 + (8-5)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-5)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$

$CA = \sqrt{(2-4)^2 + (-3+7)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{ 4+16 +16} = \sqrt{36} = 6$

$DA = \sqrt{(-1-2)^2 + (2+3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{ 9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$

यहाँ, AB = CD = 6, BC = AD = \sqrt{43}

इसलिए, चतुर्भुज ABCD के विपरीत पक्ष, जिनके शीर्ष क्रम में लिए गए हैं, समान हैं।

इसलिए,  ABCD एक समांतर चतुर्भुज हैं।

इसप्रकार, दिए गए बिंदु समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।