निम्नलिखित में कौन - से समुच्चय हैं ? अपने उत्तर का औचित्य बताइए ।
( 1 ) J अक्षर से प्रारम्भ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह ।
(2 ) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लिखकों का संग्रह ।
(3) विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह
(4) आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह ।
( 5) 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह ।
( 6) लेखक प्रेमचन्द द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह ।
( 7 ) सभी सम पूर्णाकों का संग्रह ।
( 8) इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह ।
( 9 ) विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह ।
Answers
हल :-
( i ) किसी वर्ष के J से प्रारम्भ होने वाले महीने हैं , जनवरी , जून , जुलाई ।
ये माह सुनिश्चित रूप से सूचीबद्ध हैं । अत : Jसे प्रारम्भ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह एक समुच्चय है ।
( ii ) कोई लेखक प्रतिभाशाली है अथवा नहीं इसके मापन का कोई सर्वमान्य पैमाना नहीं है अर्थात ऐसे संग्रह को सुपरिभाषित नहीं कहा जा सकता ।
अतः भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह समुच्चय नहीं है ।
( iii ) विश्व के सर्वश्रेष्ठ बल्लेबाज होने या न होने के मापन का कोई सर्वमान्य पैमाना नहीं है अर्थात ऐसे बल्लेबाजों का संग्रह सुपरिभाषित नहीं है ।
अत : विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह सुपरिभाषित न होने के कारण समुच्चय नहीं है ।
( iv ) कक्षा के बालकों की संख्या सुनिश्चित होती है जिससे इनका संग्रह परिभाषित है ।
अतः कक्षा के सभी बालकों का संग्रह सुपरिभाषित होने के कारण एक समुच्चय है ।
(v ) 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . . . , n; n < 100 }
स्पष्ट है कि संग्रह A सुपरिभाषित है । अत : 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह एक समुच्चय है । |
( vi ) लेखक प्रेमचन्द द्वारा लिखित उपन्यासों की । संख्या और उपन्यास सुनिश्चित हैं जिससे इनका संग्रह सुपरिभाषित हैं । अतः ऐसा संग्रह समुच्चय है ।
( vii ) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , . . . . . . . . . . . . .
इत्यादि समपूर्णाकों का संग्रह यद्यपि अपरिमित है परन्तु इसके अवयवों का गुण सुनिश्चित एवं परिभाषित है । अतः सम पूर्णाकों का संग्रह समुच्चय है ।
( viii ) अध्याय के अवलोकन मात्र से ही स्पष्ट कि इसके अन्तर्गत आने वाले प्रत्येक प्रश्न की अपनी पहचान है और प्रश्न सुपरिभाषित है । अतः इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह समुच्चय है ।
( ix ) किसी जानवर का खतरनाक होने या न होने की कोई परिभाषित माप नहीं है ।
अतः विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों संग्रह समुच्चय नहीं है ।
निम्नलिखित में से समुच्चय पता करने के लिए हमें यह देखना होता है की दिए गए कथन से हम कोई आकलन कर सकते हैं या नहीं
(i) J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह।
J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह एक समुच्चय का निर्माण करेगा ,क्योंकि यह निश्चित है कि हर साल में जनवरी, जून , जुलाई ही वह महीने हैं जो अक्षर से शुरू होते हैं इनमें कोई फेरबदल नहीं हो सकता
{January,June,July}
(ii) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।
भारत के 10 सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का चयन किन किन परिमाप पर करें यह पता करना बहुत मुश्किल है अर्थात यह एक समुच्चय का निर्माण नहीं करेगा
(iii) विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेवाजों का संग्रह।
सर्वश्रेष्ठ 11 बल्लेबाजों का संग्रह है भी एक समुच्चय का निर्माण नहीं करेगा क्योंकि किस्स हिसाब से उनकी सर्वश्रेष्ठ ता का आकलन किया जाए यह निश्चित नहीं है और यह बदल भी सकता है
(iv) आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह।
किसी भी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह है एक समुच्चय का निर्माण करेगा यह निश्चित है यदि एक कक्षा में 35 विद्यार्थी हैं , तो सभी को हम एक समुच्चय में रख सकते हैं
(v) 100100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह।
100 से कम सभी प्राकृत संख्याएं एक समुच्चय का निर्माण करेगी
{1,2,3,...,99}
(vi) लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह।
लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यास एक समुच्चय का निर्माण करेंगे |क्योंकि वह निर्धारित हैं ,और अब लेखक प्रेमचंद मरणोपरांत नए उपन्यास नहीं लिख सकते|
(vii) सभी सम पूर्णाकों का संग्रह।
सभी संपूर्ण आंखों का संग्रह एक समुच्चय का निर्माण करेगा जिसमें कुल तत्व असंख्य होंगे|
{2,4,6,8,...}
(viii) इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह।
इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह है एक समुच्चय का निर्माण करेंगे क्योंकि उनकी गिनती निर्धारित है|
(ix) विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह।
विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह एक समुच्चय का निर्माण नहीं करेगा