Question

निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 125 शब्दों में दीजिए :
(iii) एक काल्पनिक उदाहरण की सहायता से मानक विचलन के गणना की प्रक्रिया समझाइए।

Answer 1

Answer:

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, किसी सांख्यिकीय जनसंख्या, डाटा सेट या प्रायिकता वितरण के प्रसरण के वर्गमूल को मानक विचलन (स्टैण्डर्ड देविएशन) कहते हैं। मानक विचलन, व्यापक रूप से प्रयोग होने वाला एक मापदंड है प्रकीर्णन की माप करता है कि आंकड़े कितने 'फैले हुए' हैं। मानक विचलन बीजगणित की दृष्टि से अधिक सुविधाजनक है यद्यपि व्यावहारिक रूप से प्रत्याशित विचलन या औसत निरपेक्ष विचलन की तुलना में यह कम सुदृढ़ होता है।

इससे पता चलता है कि यहां "औसत" (मध्यमान) से कितनी भिन्नता है। इसे वितरण के मध्यमान से अंकों के औसत अंतर के रूप में माना जा सकता है कि वे मध्यमान से कितनी दूर हैं। एक निम्न मानक विचलन इंगित करता है कि डाटा के अंक मध्यमान के बहुत समीप होते हैं जबकि उच्च मानक विचलन इंगित करता है कि डाटा, मानों की एक बहुत बड़ी श्रेणी पर फैला हुआ है।

उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका में वयस्क पुरुषों की औसत ऊंचाई 70 इंच (178 से॰मी॰) है और इसके साथ ही साथ इनका मानक विचलन लगभग 3 इंच (8 से॰मी॰) है। इसका मतलब है कि अधिकांश पुरुषों (एक सामान्य वितरण की कल्पना के आधार पर लगभग 68 प्रतिशत) की ऊंचाई मध्यमान (67–73 इंच (170–185 से॰मी॰)) के 3 इंच (8 से॰मी॰) के भीतर – एक मानक विचलन है जबकि लगभग सभी पुरुषों (लगभग 95%) की ऊंचाई मध्यमान (64–76 इंच (163–193 से॰मी॰)) के 6 इंच (15 से॰मी॰) के भीतर – 2 मानक विचलन है। यदि मानक विचलन शून्य होता, तो सभी पुरुष वास्तव में 70 इंच (178 से॰मी॰) ऊंचे होते. यदि मानक विचलन 20 इंच (51 से॰मी॰) होता, तो पुरुषों की ऊंचाइयों में बहुत ज्यादा अंतर, विशेष रूप से लगभग 50 से 90 इंच (127 से 229 से॰मी॰) होता. तीन मानक विचलन के तहत वितरण को सामान्य (घंटाकार) मानकर जनसंख्या के नमूने के 99% जनसंख्या के विवरणों का अध्ययन किया गया।

जनसंख्या की परिवर्तनीयता को व्यक्त करने के अलावा, मानक विचलन को आम तौर पर सांख्यिकीय निष्कर्ष के विश्वास को मापने के लिए प्रयोग में लाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक ही चुनाव को कई बार आयोजित किया गया हो तो मतदान डाटा की त्रुटि सीमा को परिणाम के प्रत्याशित मानक विचलन की गणना द्वारा निर्धारित किया जाता है। सूचित त्रुटि सीमा विशिष रूप से मानक विचल का लगभग दोगुना – 95% आत्मविश्वास अंतराल की त्रिज्या के बराबर होती है। विज्ञान में, शोधकर्ता आमतौर पर प्रयोगात्मक डाटा के मानक विचलन की सूचना देते हैं और मानक विचलन की सीमा से बिलकुल परे एकमात्र प्रभाव को सांख्यिकी की दृष्टि से महत्वपूर्ण माना जाता है—सामान्य यादृच्छिक त्रुटि या मापन भिन्नता को इस तरह से कारणात्मक भिन्नता से अलग कर दिया जाता है। मानक विचलन, वित्त में भी महत्वपूर्ण है, जहां किसी निवेश के प्रतिफल दर का मानक विचलन, निवेश की अस्थिरता का एक माप है।

मानक विचलन संज्ञा का सबसे पहला प्रयोग[1] 1894 में कार्ल पीयरसन[2] के लेखन में किया गया और उसके बाद उनके व्याख्यानों में इसका प्रयोग किया गया। इसे एक ही विचार को व्यक्त करने वाले आरंभिक वैकल्पिक नामों के बदले प्रयोग किया गया: उदाहरण के तौर पर गॉस ने "मध्यमान त्रुटि" का प्रयोग किया।[3] मानक विचलन की एक उपयोगी विशेषता यह है कि प्रसरण के विपरीत, इसे डाटा के रूप में एक ही इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। ध्यान दें, तथापि, कि इकाई के रूप में प्रतिशत युक्त मापन के लिए, मानक विचलन में इकाई के रूप में प्रतिशत अंक होगा.

जब जनसंख्या से आंकड़ों का केवल एक नमूना उपलब्ध हो, तो जनसंख्या के मानक विचलन का आकलन, नमूना मानक विचलन कहलाने वाले एक संशोधित मात्रा द्वारा किया जा सकता है जिसकी

Answer 2

(iii) मानक विचलन के गणना की प्रक्रिया निम्न प्रकार से है :  

विचलन के माप की दूसरी विधि, जो औसत माध्य का प्रयोग कर प्राप्त की जाती है मानक विचलन कहलाती है। इसे वर्ग माध्य मूल विचलन भी कहते हैं। मानक विचलन किसी श्रेणी के विभिन्न मूल्यों के समांतर माध्य से निकाले गए विचलनों के वर्गों के माध्य का वर्गमूल होता है। इसे ग्रीक भाषा के अक्षर सिगमा (σ)से प्रकट किया जाता है।

मानक विचलन की गणना की प्रक्रिया -  

निम्नलिखित उदाहरण की सहायता से मानक विचलन की गणना की जाती है -  

σ = √[Σ(x - x(overbar)²/N]  

उपरोक्त विधि अधिक उबाऊ बन जाती है अगर x का मान दशमलव में तथा प्रेक्षणों की संख्या बहुत बड़ी  हो। इस हालत में हम निम्नलिखित शॉर्टकट मेथड का प्रयोग कर सकते हैं -  

√[Σx²/N  - (Σx(overbar)²/N)]  

उदाहरण : निम्नलिखित तालिका हमें वर्षा के पिछले 10 सालों के आंकड़े पेश करता है। मानव विचलन की गणना हम इस तालिका के द्वारा कर सकते हैं।

आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।

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