Question

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में $\sin \dfrac{x}{2}$, $\cos \dfrac{x}{2}$ तथा $\tan \dfrac{x}{2}$ ज्ञात कीजिए: $\sin x = \dfrac{1}{4}$, x द्वितीय चतुर्थाश में है।

Answer 1

Answer:

Sin(x/2) = 0.99  

Cos(x/2) = 0.126

Tan(x/2) = 7.86

Step-by-step explanation:

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में \sin \dfrac{x}{2}, \cos \dfrac{x}{2} तथा \tan \dfrac{x}{2} ज्ञात कीजिए: \sin x = \dfrac{1}{4}, x द्वितीय चतुर्थाश में है।

Sinx = 1/4

Sinx = 2Sin(x/2)Cos(x/2)

=> 2Sin(x/2)Cos(x/2) = 1/4

=> Sin(x/2)Cos(x/2) = 1/8

Squaring both sides

Sin²(x/2)Cos²(x/2) = 1/64

=> Sin²(x/2)(1 - Sin²(x/2)) = 1/64

Let say Sin(x/2) = y

then

y(1-y)  = 1/64

=> y² - y + 1/64 = 0

=> 64y² - 64y + 1 = 0

=> y =  (64 ± √(64² - 64*4) )/(2 *64)

=> y = (64 ± 16√15 )/(2 *64)

=> y = (64 ± 61.97)/128

y = 0.98   or 0.0159

Sin²(x/2) = 0.98 or  0.0159

Sin(x/2) = 0.99  or  0.126

as Sinx = 1/4 is in

Sin(x/2) = 0.99   Cos(x/2) = 0.126

Tan(x/2) = 0.99/0.126 = 7.86

Answer 2

Answer: sin $\frac{x}{2}$ = $\sqrt{\frac{2\sqrt{15}+8 }{4} }$

             cos $\frac{x}{2}$ = $\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15} }{4} }$

             tan $\frac{x}{2}$ = 4 + $\sqrt{15}$

Step-by-step explanation:

x, दूसरे चतुर्थाश में है।

=>      90° < x < 180°

2 से भाग देने पर 45° < $\frac{x}{2}$ < 90°

=>      $\frac{x}{2}$ पहले चतुर्थाश में है।

∴   sin$\frac{x}{2}$ , cos$\frac{x}{2}$ , tan$\frac{x}{2}$ तीनों ही धनात्मक हैं।

   sin x = $\frac{1}{4}$ , cos x = - $\sqrt{1-sin^{2}x}$ = - $\sqrt{1-\frac{1}{16} }$  = - $\frac{\sqrt{15}}{4}$

                                                                                   [ x दूसरे चतुर्थाश में है ]

  sin $\frac{x}{2}$ = +$\sqrt{\frac{1-cosx}{2} }$ = $\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{15} }{4} }{2} }$

              = $\sqrt{\frac{\sqrt{15}+4 }{8} }$ = $\sqrt{\frac{(\sqrt{15}+4)^{2} }{16} }$

              = $\sqrt{\frac{2\sqrt{15}+8 }{4} }$

     cos $\frac{x}{2}$ = + $\sqrt{\frac{1+cosx}{2} }$

              = $\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{15} }{4} }{2} }$

              = $\sqrt{\frac{4-\sqrt{15} }{8} }$

              = $\sqrt{\frac{(4-\sqrt{15})^2 }{16} }$

              = $\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15} }{4} }$

    tan $\frac{x}{2}$ = $\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx} }$

              = $\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{15} }{4} }{1-\frac{\sqrt{15} }{4}} }$

              = $\sqrt{\frac{\frac{4+\sqrt{15} }{4} }{\frac{4-\sqrt{15} }{4} } }$

              = $\sqrt{\frac{4+\sqrt{15} }{4-\sqrt{15} } }$

              = $\sqrt{\frac{4+\sqrt{15} }{4-\sqrt{15} } }$ × $\sqrt{\frac{4+\sqrt{15} }{4+\sqrt{15} } }$

              = $\sqrt{\frac{(4+\sqrt{15})^2 }{16 - 15} }$

              = 4 + $\sqrt{15}$

अतः sin $\frac{x}{2}$ = $\sqrt{\frac{2\sqrt{15}+8 }{4} }$

       cos $\frac{x}{2}$ = $\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15} }{4} }$

       tan $\frac{x}{2}$ = 4 + $\sqrt{15}$