Question

Nonsense/No solution = report​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given cubic polynomial is

$\rm \: {3x}^{3} + {4x}^{2} - x - 2$

Let assume that

$\rm \: f(x) = {3x}^{3} + {4x}^{2} - x - 2$

Now, we have to find the zero of this cubic polynomial using hit and trial method.

Let assume that x = - 1

$\rm \: f( - 1) = - 3 + 4 + 1 - 2$

$\rm\implies \:f( - 1) = 0$

We know

Factor theorem states that if a polynomial if more than 1 degree f(x) is such that f (a) = 0, then x - a, is factor of f(x).

So, By factor theorem,

$\rm\implies \:x + 1 \: is \: a \: factor \: of \: f(x)$

So, by using Synthetic Division Method, we have

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{gathered} \:\: \begin{array}{c|c} {\underline{\sf{}}}&{{\sf{\:\: \:\:}}}\\ {\underline{\sf{ - 1}}}& {\sf{\: 3 \: \: \: \: \: 4 \: \: \: \: \: - 1 \: \: \: \: - 2 \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\:\: \:  \:  \:  - 3 \: \: \: \: - 1\:  \:  \:  \:  \: 2\: \:  \: \:\:}} \\ {{\sf{}}}& {\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  3\:  \:  \:  1\:  \:  \:  - 2  \:  \:  \:  [ \: 0\: \: \:  \:  \:  \:   \:\:}} \\ {\sf{\:}}  \end{array}\end{gathered}\end{gathered}\end{gathered}$

Now, By Division Algorithm, we have

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

So,

$\rm \: {3x}^{3} + {4x}^{2} - x - 2$

$\rm \: = \: (x + 1)( {3x}^{2} + x - 2)$

$\rm \: = \: (x + 1)( {3x}^{2} +3 x - 2x - 2)$

$\rm \: = \: (x + 1)\bigg[3x(x + 1) - 2(x + 1)\bigg]$

$\rm \: = \rm \: (x + 1)(x + 1)(3x - 2)$

Hence,

$\bf \: f(x) = {3x}^{3} + {4x}^{2} - x - 2 = (x + 1)(x + 1)(3x - 2)$

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Verification of Synthetic Division by Long Division

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{gathered} \:\: \begin{array}{c|c} {\underline{\sf{}}}&{\underline{\sf{\:\: 3{x}^{2} + x - 2\:\:}}}\\ {\underline{\sf{x + 1}}}& {\sf{\: 3{x}^{3} + {4x}^{2} - x - 2 \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\:\: \:  \: - 3{x}^{3} - 3 {x}^{2}   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:\:}} \\ {{\sf{}}}& {\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:{x}^{2} - x - 2 \:  \:  \:  \:   \:  \:  \:  \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: - {x}^{2}  - x  \:  \:  \:  \: \:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  - 2x - 2  \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:2x + 2\:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: 0\:\:}}  \end{array}\end{gathered}\end{gathered}\end{gathered}$