Question

p(x)=2x^4-6x^3+2x2-x+2,g(x)=x+2​

Answer 1

$\mathsf \red{Given : \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{f(x) = 2 {x}^{4} - 6 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - x + 2} \\ \\ \mathsf{g(x) =x + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$\\ \\ \mathsf \red{put \: \: g(x) = 0} \\ \\ \mathsf{x + 2 = 0 \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{x = - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$\mathsf \red{By \: Remainder \: Thereom : \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{p( - 2) = 2( { - 2)}^{4} - 6 {( - 2)}^{3} + 2 {( - 2)}^{2} - ( - 2) + 2 \: } \\ \\ \mathsf{p( - 2) = 32 + 48 + 8 + 2 + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{p( - 2) = 92 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf \red{ \therefore \: remainder \: is \: 92 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$\\ \\ \boxed{ \mathsf \red{Actual \: Division : }} \\ \\ \mathsf{x + 2) \: \: 2 {x}^{4} - 6 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - x + 2 \: \: (2 {x}^{3} - 10 {x}^{2} + 22x - 45} \\ \mathsf{ 2 {x}^{4} + 4 {x}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ - - - - - - - - - - - - - - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \mathsf{- 10 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - x + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \mathsf{ - 10 {x}^{3} - 20 {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \: \: \: - - - - - - - - - - - - - - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \mathsf{22 {x}^{2} - x + 2 \: \: \: \: \: } \\ \mathsf{22 {x}^{2} + 44x \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \: \: \: - - - - - - - - - - - - - - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \mathsf{ - 45x + 2} \\ \mathsf{ - 45x - 90} \\ \: \: \: - - - - - - - - - - - - - - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \mathsf{92}$

Answer 2

$\mathsf \red{Given : \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{f(x) = 2 {x}^{4} - 6 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - x + 2} \\ \\ \mathsf{g(x) =x + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$\\ \\ \mathsf \red{put \: \: g(x) = 0} \\ \\ \mathsf{x + 2 = 0 \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{x = - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$\mathsf \red{By \: Remainder \: Thereom : \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{p( - 2) = 2( { - 2)}^{4} - 6 {( - 2)}^{3} + 2 {( - 2)}^{2} - ( - 2) + 2 \: } \\ \\ \mathsf{p( - 2) = 32 + 48 + 8 + 2 + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{p( - 2) = 92 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf \red{ \therefore \: remainder \: is \: 92 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$\\ \\ \boxed{ \mathsf \red{Actual \: Division : }} \\ \\ \mathsf{x + 2) \: \: 2 {x}^{4} - 6 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - x + 2 \: \: (2 {x}^{3} - 10 {x}^{2} + 22x - 45} \\ \mathsf{ 2 {x}^{4} + 4 {x}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ - - - - - - - - - - - - - - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \mathsf{- 10 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - x + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \mathsf{ - 10 {x}^{3} - 20 {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \: \: \: - - - - - - - - - - - - - - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \mathsf{22 {x}^{2} - x + 2 \: \: \: \: \: } \\ \mathsf{22 {x}^{2} + 44x \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \: \: \: - - - - - - - - - - - - - - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \mathsf{ - 45x + 2} \\ \mathsf{ - 45x - 90} \\ \: \: \: - - - - - - - - - - - - - - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \mathsf{92}$