प्र.22 सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न 2 बिंदुओं
पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो
जाती हैं।
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प्रश्न :- सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न 2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं ।
उतर :-
संरचना :-
- ABC एक त्रिभुज है ।
- DE || BC
- भुजा AB को रेखा DE बिंदु D पर काटती है, तथा भुजा AC को बिंदु E पर काटती है ।
- B को E से तथा C को D से मिलाइए ।
- अब DN ⊥ AB और EM ⊥ AC खींचिए।
सिद्ध करना है :-
- AD/DB = AE/EC
हम जानते है कि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) * आधार * ऊंचाई
अत,
- ar(∆ADE) = (1/2) * AD * EM
- ar(∆BDE) = (1/2) * DB * EM
- ar(∆ADE) = (1/2) * AE * DN
- ar(∆DEC) = (1/2) * EC * DN
इसलिए ,
- [ar(∆ADE)] / [ar(∆BDE)] = [(1/2) * AD * EM] / [(1/2) * DB * EM] = AD / DB
इसी तरह ,
- [ar(∆ADE)] / [ar(∆DEC)] = AE/EC
अब , जैसा कि हम देख सकते है ,
- ∆BDE और ∆DEC एक ही आधार DE पर बने हैं , और समान समांतर रेखाओं DE और BC के बीच हैं।
इसलिए,
- ar(∆BDE) = ar(∆DEC)
अत,
→ [ar(∆ADE)] / [ar(∆BDE)] = AD / DB
→ [ar(∆ADE)] / [ar(∆DEC)] = AD / DB
→ AE / EC = AD / DB . (Proved).
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Answer:
Step-by-step explanation: