Question

प्रश्न 1 से 2 तक सम्मिश्र संख्याओं मे प्रत्येक मापांक और कोणाक ज्ञात कीजिए : $z = - 1 - \iota \sqrt 3$

Answer 1

सम्मिश्र संख्या का मापांक और कोणाक ज्ञात करने के लिए

$z = - 1 - \iota \sqrt 3$

यदि सम्मिश्र संख्या
$a + ib$
है तो, मापांक
$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } \\ \\ \theta = {tan}^{ - 1} \bigg( \frac{b}{a} \bigg)$
$a = - 1 \\ \\ b = - \sqrt{3} \\ \\ |z| = \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {( - \sqrt{3}) }^{2} } \\ \\ = > |z| = \sqrt{1 + 3} \\ \\ = > |z| = 2 \\ \\ \theta = {tan}^{ - 1} \bigg( \frac{b}{a} \bigg) \\ \\\theta = {tan}^{ - 1} \bigg( \frac{ - \sqrt{3} }{ - 1} \bigg) \\ \\ = > \theta = {tan}^{ - 1}(\sqrt{3} ) \\ \\\theta = 60°$

मापांक =2

कोणाक=60°

Answer 2

माना z = -1 -i √3 = r(cosθ+i.sinθ)

तुलना करने पर

rcosθ = -1     ..............(1)

rsinθ = -√3   ...............(2)

Eq. (1) और (2) को वर्ग करके जोड़ने पर

r²cos²θ + r²sin²θ = 1+3

r²(cos²θ+sin²θ) = 4

r² = 4

r = 2

इसलिए मापांक = 2

अब Eq. (2) को (1) से भाग देने पर

rsinθ/rcosθ = √3

tanθ = √3     ............(3)

Eq. (1), (2) और (3) से स्पष्ट है की sinθ और cosθ ऋणात्मक हैं जबकि tanθ धनात्मक है अतः θ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है |

अतः कोणांक θ = -(π-π/3) = -2π/3       Ans.

More Question:

निम्नलिखित व्यंजक को a + ib के रूप मे व्यक्त कीजिए : \dfrac{(3 + \iota \sqrt 5)(3 - \iota \sqrt 5)}{(\sqrt 3 + \sqrt 2\,\iota) - (\sqrt 3 - \iota \sqrt 2)}

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