Question

प्रश्न 1 से 2 तक सम्मिश्र संख्याओं मे प्रत्येक मापांक और कोणाक ज्ञात कीजिए : $z = - \sqrt 3 + \iota$

Answer 1

सम्मिश्र संख्या का मापांक और कोणाक ज्ञात करने के लिए

$z = - \sqrt 3 + \iota$

यदि सम्मिश्र संख्या
$a + ib$
है तो, मापांक
$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } \\ \\ \theta = {tan}^{ - 1} \bigg( \frac{b}{a} \bigg)$
$a = - \sqrt 3 \\ \\ b = 1\\ \\ |z| = \sqrt{ {( -\sqrt 3)}^{2} + {(1) }^{2} } \\ \\ = > |z| = \sqrt{3+1} \\ \\ = > |z| = 2 \\ \\ \theta = {tan}^{ - 1} \bigg( \frac{b}{a} \bigg) \\ \\\theta = {tan}^{ - 1} \bigg( \frac{1 }{ -\sqrt 3} \bigg) \\ \\ = > \theta = {tan}^{ - 1}\bigg( -\frac{1 }{ \sqrt 3} \bigg) \\ \\\theta =\pi- {tan}^{ - 1}\bigg( \frac{1 }{ \sqrt 3} \bigg) \\ \\\theta=\pi-30°\\\\\theta=120°$
मापांक =2

कोणाक=120°

Answer 2

माना z = -√3+i = r(cosθ+i.sinθ)

तुलना करने पर

rcosθ = -√3     ..............(1)

rsinθ = 1   ...............(2)

Eq. (1) और (2) को वर्ग करके जोड़ने पर

r²cos²θ + r²sin²θ = 3+1

r²(cos²θ+sin²θ) = 4

r² = 4

r = 2

इसलिए मापांक = 2

अब Eq. (2) को (1) से भाग देने पर

rsinθ/rcosθ = -(1/√3)

tanθ = -1/√3     ............(3)

Eq. (1), (2) और (3) से स्पष्ट है की tanθ और cosθ ऋणात्मक हैं जबकि sinθ धनात्मक है अतः θ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है |

अतः कोणांक θ = π-π/6 = 5π/6       Ans.

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z = - 1 - \iota \sqrt 3

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