Question

प्रश्न 15. सिद्ध कीजिए कि 5 एक अपरिमेय संख्या है।​

Answer 1

$\huge\boxed{\fcolorbox{red}{yellow}{Shailesh}}$

मान लीजिए कि √5  एक परिमेय संख्या है।

∴ हम ऐसे दो पूर्णांक  a  तथा b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं ।  

√5 = a/b

मान लिया कि a और b  में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है। तब हम इस उभनिष्ठ गुणनखंड से  a और b को विभाजित करके √5 = ab, प्राप्त कर सकते है, जहाँ a और b सहभाज्य (co-prime) हैं।

अतः, b√5 = a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

5b² = a²…..(1)

अतः , 5 ,a² को विभाजित करता है।

अतः , 5 ,a को विभाजित करेगा।……..(2)

अतः, हम a = 5c लिख सकते हैं जहां c कोई पूर्णांक है।  

समीकरण (1) में a = 5c प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

5b² = 25c²

b² = 5c²

इसका अर्थ है कि 5 ,b² को विभाजित करता है।

इसलिए 5 , b को भी विभाजित करेगा। …….(3)

समीकरण (2) और (3) से, a और b का कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।

परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि a और b अविभाज्य है अर्थात इनके 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

हमारी यह कल्पना है कि √5 एक परिमेय संख्या है, गलत है।

अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।

आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।

$\bf\huge\underline\red{Follow me}$

Answer 2

Step-by-step explanation:

मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है।

∴ हम ऐसे दो पूर्णांक a तथा b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं ।

√5 = a/b

मान लिया कि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है। तब हम इस उभनिष्ठ गुणनखंड से a और b को विभाजित करके √5 = ab, प्राप्त कर सकते है, जहाँ a और b सहभाज्य (co-prime) हैं।

अतः, b√5 = a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

5b² = a²…..(1)

अतः , 5 ,a² को विभाजित करता है।

अतः , 5 ,a को विभाजित करेगा।……..(2)

अतः, हम a = 5c लिख सकते हैं जहां c कोई पूर्णांक है।

समीकरण (1) में a = 5c प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

5b² = 25c²

b² = 5c²

इसका अर्थ है कि 5 ,b² को विभाजित करता है।

इसलिए 5 , b को भी विभाजित करेगा। …….(3)

समीकरण (2) और (3) से, a और b का कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।

परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि a और b अविभाज्य है अर्थात इनके 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

हमारी यह कल्पना है कि √5 एक परिमेय संख्या है, गलत है।

अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।

आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।