Question

प्रतिलघुगणक पर टिप्पणी लिखिये।
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Answer 1

Answer:

स्कॉटलैंड निवासी जाॅन नेपियर द्वारा प्रतिपादित लघुगणक (Logarithm / लॉगेरिद्म) एक ऐसी गणितीय युक्ति है जिसके प्रयोग से गणनाओं को लघु या छोटा किया जा सकता है। इसके प्रयोग से गुणा और भाग जैसी जटिल प्रक्रियाओं को क्रमशः जोड़ और घटाने जैसी अपेक्षाकृत सरल प्रक्रियाओं में बदल दिया जाता है। संगणक (computer) और परिकलक (calculator) के आने के पहले जटिल गणितीय गणनाएँ लघुगणक की मदद से ही की जातीं थीं।

जब x और b दोनो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हों तो, logb(x) का मान एक अद्वितीय वास्तविक संख्या होती है। आधार b का निरपेक्ष मान 0 या 1 को छोड़कर कुछ भी हो सकता है। आधार के रूप में प्रायः 10, e या 2 को लिया जाता है जिनके अपने-अपने उपयोग-क्षेत्र हैं। वास्तविक संख्याओं तथा समिश्र संख्याओं के लघुगणक पारिभाषित हैं।

निम्नलिखित परिणाम लघुगणक की परिभाषा से सीधे ही आ जाते हैं-

{\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}{\displaystyle a^{\log _{a}b}=b},

{\displaystyle \log _{a}1=0}{\displaystyle \log _{a}1=0},

{\displaystyle \log _{a}a=1}{\displaystyle \log _{a}a=1}.

{\displaystyle \log _{a}(b\cdot c)=\log _{a}b+\log _{a}c}{\displaystyle \log _{a}(b\cdot c)=\log _{a}b+\log _{a}c},

अतः

{\displaystyle \log _{a}{\tfrac {b}{c}}=\log _{a}b-\log _{a}c}{\displaystyle \log _{a}{\tfrac {b}{c}}=\log _{a}b-\log _{a}c},

तथा

{\displaystyle \log _{a}b^{c}=c\cdot \log _{a}b}{\displaystyle \log _{a}b^{c}=c\cdot \log _{a}b},

{\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{n}]{b^{c}}}={\tfrac {c}{n}}\log _{a}b}{\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{n}]{b^{c}}}={\tfrac {c}{n}}\log _{a}b},

अन्ततः

{\displaystyle \log _{a^{n}}b={\tfrac {1}{n}}\log _{a}b}{\displaystyle \log _{a^{n}}b={\tfrac {1}{n}}\log _{a}b},

{\displaystyle \log _{a}b={\tfrac {1}{\log _{b}a}}}{\displaystyle \log _{a}b={\tfrac {1}{\log _{b}a}}},

इसलिये

{\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1}{\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1},

जिसकी एक विशेष स्थिति निम्नलिखित है-

{\displaystyle \ln {10}\cdot \log e=1}{\displaystyle \ln {10}\cdot \log e=1}.

उपरोक्त से निम्नलिखित सर्वसमिका (equality) प्राप्त होती है-

{\displaystyle {\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}=\log _{a}x}{\displaystyle {\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}=\log _{a}x}

अथवा:

{\displaystyle \log _{b}x=\log _{b}a\log _{a}x}{\displaystyle \log _{b}x=\log _{b}a\log _{a}x}

Step-by-step explanation:

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