Question

please answer fast 1+cos a /sec a-tan a - 1-cos a / seca+tana=2(1+tana) prove ​

Answer 1

Step-by-step explanation:

We need to prove, $\frac{1+cosA}{secA-tanA}-\frac{1-cosA}{secA+tanA}=2(1+tanA)$

$LHS=\frac{1+cosA}{secA-tanA}-\frac{1-cosA}{secA+tanA}$

⇒ $\frac{1+cosA}{\frac{1}{cosA} -\frac{sinA}{cosA} } -\frac{1-cosA}{\frac{1}{cosA} +\frac{sinA}{cosA} }$ $($∵ $tanA=\frac{sinA}{cosA}, secA=\frac{1}{cosA} )$

⇒ $\frac{1+cosA}{\frac{1-sinA}{cosA} } -\frac{1-cosA}{\frac{1+sinA}{cosA} }$

⇒ $\frac{cosA(1+cosA)}{1-sinA } -\frac{cosA(1-cosA)}{1+sinA }$

⇒ $\frac{cosA+cos^2A}{1-sinA } -\frac{cosA-cos^2A}{1+sinA }$

⇒ $\frac{(cosA+cos^2A)(1+sinA)}{(1-sinA)(1+sinA) } -\frac{(cosA-cos^2A)(1-sinA)}{(1+sinA)(1-sinA) }$

⇒ $\frac{cosA+sinAcosA+cos^2A+cos^2AsinA}{1^2-sin^2A } -\frac{cosA-sinAcosA-cos^2A+cos^2AsinA}{1^2-sin^2A }$

$($∵ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2)$

⇒ $\frac{cosA+sinAcosA+cos^2A+cos^2AsinA-(cosA-sinAcosA-cos^2A+cos^2AsinA)}{1-sin^2A }$

⇒ $\frac{cosA+sinAcosA+cos^2A+cos^2AsinA-cosA+sinAcosA+cos^2A-cos^2AsinA}{cos^2A }$

$($∵ $cos^2A=1-sin^2A)$

⇒ $\frac{cosA-cosA+sinAcosA+sinAcosA+cos^2A+cos^2A+cos^2AsinA-cos^2AsinA}{cos^2A }$

⇒ $\frac{2sinAcosA+2cos^2A}{cos^2A }$

⇒ $\frac{2cosA(sinA+cosA)}{cos^2A }$

⇒ $\frac{2(sinA+cosA)}{cosA }$

⇒ $2(\frac{sinA+cosA}{cosA })$

⇒ $2(\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{cosA })$

⇒ $2(\frac{cosA}{cosA }+\frac{sinA}{cosA})$

⇒ $2(1+tanA)=RHS$ $($∵ $tanA=\frac{sinA}{cosA})$

∴ $\frac{1+cosA}{secA-tanA}-\frac{1-cosA}{secA+tanA}=2(1+tanA)$

∴ $LHS=RHS$

∴ Hence proved.

Answer 2

$\frac{1 + cosa}{seca - tana} - \frac{ 1 - cosa}{seca + tana} \\ \\ = \frac{cosa(1 + cosa)}{1 - sina} - \frac{cosa(1 - cosa)}{1 + sina} \\ \\ = cosa( \frac{1 + sina + cosa + sinacosa - 1 + sina + cosa- sinacosa}{1 - {sin}^{2}a } ) \\ \\ = \frac{2(sina + cosa)}{cosa} \\ \\ = 2(1 + tana)$