Question

please answer fast as possible ​

Answer 1

$\bold{Given}$

$\large \boxed{\mathsf{sin \: 60^{\circ} = 2 sin 30^{\circ} . cos \: 30{\circ} = \dfrac{ 2tan \: 30^{\circ}}{1+ tan^{2}\:30 ^{\circ} }}}$

$\mathsf{We \: know, }$

$\boxed{\mathsf{sin \: 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$

$\boxed{\mathsf{sin \: 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}}}$

$\boxed{\mathsf{cos \: 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$

$\mathsf{On \: applying \: values , in \: first \: two \: terms}$

$\mathsf{ \dfrac{\sqrt{3}}{2}= 2 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

$\mathsf{ \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

$\large \mathsf{L.H.S = R. H. S}$

$\mathsf{Hence\: Proved }$

$\mathsf{On \: applying \: values , in \: middle \: and \: last \: terms}$

$\large \boxed{\mathsf{ 2 sin 30^{\circ} . cos \: 30^{\circ} = \dfrac{2tan \: 30^{\circ}}{1+ tan^{2}\:30 ^{\circ}}}}$

$\mathsf{Since, }$

$\boxed{\mathsf{2 sin 30^{\circ} . cos \: 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$

$\mathsf{as \: proved \: above, }$

R.H.S

$\mathsf{= \dfrac{ 2tan \: 30^{\circ}}{1+ tan^{2}\:30 ^{\circ}}}$

$\boxed{\mathsf{tan \: 30^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}}}$

$\mathsf{= \dfrac{2 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{ 1 +( \dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}}}$

$\mathsf{= \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{1 +\dfrac{1}{3}}}$

$\mathsf{= \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{\dfrac{3 + 1}{3}}}$

$\mathsf{= \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{\dfrac{4}{3}}}$

$\mathsf{=\dfrac{2 \times 3}{\sqrt{3} \times 4}}$

$\mathsf{=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}}$

$\mathsf{On \: rationalizing, }$

$\mathsf{=\dfrac{3}{2\sqrt{3}} \times\dfrac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} }$

$\mathsf{=\dfrac{6 \sqrt{3}}{ 4 \times 3}}$

$\mathsf{=\dfrac{6 \sqrt{3}}{12}}$

$\mathsf{=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

$\large \mathsf{L.H.S = R. H. S}$

$\mathsf{Hence\: Proved }$

$\bold{Overall}$

$\large \boxed{\mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$

$\large \boxed{\mathsf{Hence \: proved}}$