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Answer 1

$\rm \implies\displaystyle \lim_{ \sf \: x \to0} \dfrac{{ \rm \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + {x}^{2} } }}{ \rm \:x}$

If we put x =0 in the given expression then we will get 0/0 form. Since 0/0 is indeterminate form , we will simplify the above expression :-

$\rm \implies\displaystyle \lim_{ \sf \: x \to0} \bigg( \dfrac{{ \rm \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + {x}^{2} } }}{ \rm \:x} \times \dfrac{{ \rm \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + {x}^{2} } }}{ \rm \rm \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + {x}^{2} }} \bigg)$

$\rm \implies\displaystyle \lim_{ \sf \: x \to0} \dfrac{{ \rm {(\sqrt{1 + x} )}^{2} - {( \sqrt{1 + {x}^{2} })}^{2} }}{ \: \: \rm x (\rm \rm \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + {x}^{2} } \: )}$

$\rm \implies\displaystyle \lim_{ \sf \: x \to0} \dfrac{{ \rm {1 + x} - {( 1 + {x}^{2} } ) }}{ \: \: \rm x (\rm \rm \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + {x}^{2} } \: )}$

$\rm\implies\displaystyle \lim_{ \sf \: x \to0} \dfrac{{ \rm {1 + x} - 1 - {x}^{2} }}{ \: \: \rm x (\rm \rm \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + {x}^{2} } \: )}$

$\rm \implies\displaystyle \lim_{ \sf \: x \to0} \dfrac{{ \rm { x} - {x}^{2} }}{ \: \: \rm x (\rm \rm \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + {x}^{2} } \: )}$

$\rm \implies\displaystyle \lim_{ \sf \: x \to0} \dfrac{{ \rm { x} (1 - {x} )}}{ \: \: \rm x (\rm \rm \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + {x}^{2} } \: )}$

$\rm \implies\displaystyle \lim_{ \sf \: x \to0} \dfrac{{ \rm (1 - {x}^{} )}}{ \: \: \rm (\rm \rm \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + {x}^{2} } \: )}$

$\rm \implies\displaystyle \dfrac{{ \rm (1 - 0 )}}{ \: \: \rm (\rm \rm \sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0} \: )}$

$\rm \implies\displaystyle \dfrac{{ \rm (1 )}}{ \: \: \rm (\rm \rm \sqrt{1} + \sqrt{1} \: )}$

$\rm \implies\displaystyle \dfrac{{ \rm (1 )}}{ \: \: \rm (\rm \rm1 + 1 \: )}$

$\rm\implies\displaystyle \dfrac{{ \rm 1 }}{ \rm 2}$